Uma arma atira um projétil, com velocidade de
, formando um ângulo de
com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a explosão é zero, cai verticalmente. Supondo que o terreno seja plano, a que distância da arma cairá o outro fragmento? Descreva o que acontece com o centro de massa do projétil e determine sua posição final.
Passo 1
Vamos lá! Temos um projétil disparado com uma velocidade de
formando um ângulo de
com a horizontal. O conteúdo que vamos usar aqui é o movimento projetil e a conservação do momento. Precisaremos das fórmulas de decomposição vetorial, cinemática do movimento vertical e horizontal, e da conservação do momento linear.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do projétil nas direções horizontal e vertical. Usamos seno e cosseno para isso:
Passo 3
No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical
é zero porque o projétil para de subir e começa a descer. Portanto, a única velocidade que o projétil tem nesse ponto é a horizontal,
.
Passo 4
A arma explode nesse ponto, dividindo o projétil em dois fragmentos de massas iguais. Segundo a conservação do momento linear, o momento total antes da explosão deve ser igual ao momento total após a explosão. Como um dos fragmentos fica com velocidade zero, todo o momento será transferido para o outro fragmento.
Matematicamente:
Então, o outro fragmento mantém a velocidade horizontal de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o tempo que o fragmento vai levar para cair no chão após a explosão. Como a explosão ocorre no ponto mais alto, a altura atingida pelo projétil pode ser calculada usando a fórmula da altura máxima:
O tempo de queda livre a partir dessa altura é dado por:
Passo 6
Com o tempo de queda
conhecido, podemos calcular a distância horizontal que o fragmento percorre após a explosão:
Passo 7
Por fim, precisamos somar essa distância à distância já percorrida pelo projétil até o ponto de explosão. A distância até o ponto mais alto é:
Onde
é o tempo até o ponto mais alto:
Então, a distância total onde o fragmento cairá é:
Resposta
O outro fragmento cairá a aproximadamente
da arma. O centro de massa do projétil, por conservar o momento, continua na trajetória original e não sofre deslocamento adicional devido à explosão.