Uma arma atira um projétil, com velocidade de 450 m / s, formando um ângulo de 60^circ com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a explosão é zero, cai verticalmente. Supondo que o terreno seja plano, a que distância da arma cairá o outro fragmento? Descreva o que acontece com o centro de massa do projétil e determine sua posição final.

Passo 1

Vamos lá! Temos um projétil disparado com uma velocidade de formando um ângulo de com a horizontal. O conteúdo que vamos usar aqui é o movimento projetil e a conservação do momento. Precisaremos das fórmulas de decomposição vetorial, cinemática do movimento vertical e horizontal, e da conservação do momento linear.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do projétil nas direções horizontal e vertical. Usamos seno e cosseno para isso:
vx = v cdot cos(theta) = 450 cdot cos(60^circ) = 450 cdot 0,5 = 225 , m/s
vy = v cdot sin(theta) = 450 cdot sin(60^circ) approx 450 cdot 0,8660 approx 389,7 , m/s

Passo 3

No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical é zero porque o projétil para de subir e começa a descer. Portanto, a única velocidade que o projétil tem nesse ponto é a horizontal, .

Passo 4

A arma explode nesse ponto, dividindo o projétil em dois fragmentos de massas iguais. Segundo a conservação do momento linear, o momento total antes da explosão deve ser igual ao momento total após a explosão. Como um dos fragmentos fica com velocidade zero, todo o momento será transferido para o outro fragmento.
Matematicamente:
m cdot vx = m cdot 0 + m cdot v'
v' = vx = 225 , m/s
Então, o outro fragmento mantém a velocidade horizontal de .

Passo 5

Agora, vamos calcular o tempo que o fragmento vai levar para cair no chão após a explosão. Como a explosão ocorre no ponto mais alto, a altura atingida pelo projétil pode ser calculada usando a fórmula da altura máxima:
h = vy^22g = (389,7)^22 cdot 9,8 approx 151,93619,6 approx 7,75 , m
O tempo de queda livre a partir dessa altura é dado por:
t = raiz2hg = raiz2 cdot 7,759,8 approx raiz15,59,8 approx raiz1,581 approx 1,257 , s

Passo 6

Com o tempo de queda d = v' cdot t = 225 cdot 1,257 approx 282,3 , m conhecido, podemos calcular a distância horizontal que o fragmento percorre após a explosão:

Passo 7

Por fim, precisamos somar essa distância à distância já percorrida pelo projétil até o ponto de explosão. A distância até o ponto mais alto é:
dmáx = vx cdot tsubida á
Onde tsubida = vyg = 389,79,8 approx 39,75 , s é o tempo até o ponto mais alto:
dmáx = 225 cdot 39,75 approx 8.943,75 , m
dtotal = dmáx + d approx 8.943,75 + 282,3 approx 9.226,05 , m á
Então, a distância total onde o fragmento cairá é:
á

Resposta

O outro fragmento cairá a aproximadamente da arma. O centro de massa do projétil, por conservar o momento, continua na trajetória original e não sofre deslocamento adicional devido à explosão.

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