Use o princípio da superposição a um dipolo elétrico para determinar o potencial elétrico em um ponto arbitrário P que está a uma distância r do ponto médio do dipolo. Determine o potencial elétrico para r gg d.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre o princípio da superposição aplicado a um dipolo elétrico. A ideia é encontrar o potencial elétrico em um ponto qualquer , que está a uma distância do ponto médio do dipolo. Além disso, a gente precisa calcular esse potencial quando é muito maior que a distância entre as cargas do dipolo ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o potencial de múltiplas cargas usando a superposição e como simplificar a expressão quando é muito maior que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um dipolo elétrico é composto por duas cargas de mesmas intensidades mas sinais opostos, separadas por uma distância . Vamos chamar as cargas de e .

Passo 3

O princípio da superposição nos diz que o potencial elétrico total gerado por múltiplas cargas é a soma dos potenciais individuais gerados por cada carga. Matematicamente, isso é:
Vtotal = V+ + V-

Passo 4

O potencial elétrico criado por uma carga pontual V = kqr a uma distância é dado por:
onde é a constante eletrostática ( ).

Passo 5

No nosso caso, temos duas cargas: e . Se considerarmos o ponto a uma distância do ponto médio do dipolo, as distâncias das cargas até serão aproximadamente e , respectivamente.

Passo 6

Aplicando a expressão do potencial para cada carga:
V+ = kqr - d2
V- = -kqr + d2

Passo 7

Somando os potenciais:
Vtotal = kqr - d2 - kqr + d2

Passo 8

Para simplificar, podemos fatorar 1r pm d2 approx 1r (1 mp d2r) e usar uma aproximação para . Vamos expandir os denominadores usando o binômio de Newton:

Passo 9

Substituindo na expressão do potencial:
Vtotal approx kq ( 1r (1 + d2r) - 1r (1 - d2r) )
Vtotal approx kq ( 1r + d2r^2 - 1r + d2r^2 )
Vtotal approx kq ( dr^2 )

Passo 10

Podemos definir o momento de dipolo elétrico p = qd como:
Vtotal approx k pr^2
Então, substituindo na expressão:

Resposta

O potencial elétrico no ponto V = k pr^2 quando é:

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