Quatro particulas estão inicialmente dispostas nos vértices de um quadrado de lado d, sobre uma superfície plana horizontal e sem atrito. Molas de massas desprezíveis e de constantes elásticas diferentes unem os pares adjacentes. Além disso, duas forças constantes e de mesmo módulo F atuam sobre as partículas de massa m. Utilizando o sistema de eixos da figura, calcule a posição do centro de massa do sistema a) para a configuração mostrada (inicial) e b) para um instante de tempo t qualquer.

Passo 1

Então, a gente tem quatro partículas todas colocadas nos cantos de um quadrado de lado numa superfície sem atrito. Essas partículas estão conectadas por molas que têm constantes elásticas diferentes. Além disso, duas forças constantes de mesmo tamanho estão atuando em duas das partículas, que têm massa . A gente precisa calcular a posição do centro de massa do sistema a) na configuração inicial e b) em qualquer instante de tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa. O centro de massa é um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as partículas do sistema, considerando suas massas. A posição do centro de massa ( R = 1M sumi=1^n mi ri ) pode ser calculada usando a fórmula:
onde é a massa total do sistema, é a massa de cada partícula e é a posição de cada partícula.

Passo 3

No nosso caso, todas as partículas têm a mesma massa M = 4m , então a massa total é:
Agora, vamos definir o sistema de coordenadas. Supondo que o quadrado esteja no plano , com um vértice na origem, as posições iniciais das partículas são:
  • Partícula 1:
  • Partícula 2:
  • Partícula 3:
  • Partícula 4:

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula do centro de massa:
R = 14m [ m 0 0 + m d 0 + m d d + m 0 d ]
Simplificando:
R = 14 [ 0 0 + d 0 + d d + 0 d ] = 14 2d 2d = d2 d2

Passo 5

Então, no instante inicial, o centro de massa está exatamente no centro do quadrado, que é o ponto .

Passo 6

Agora, para a parte b), precisamos considerar o movimento do centro de massa em qualquer instante de tempo Fres = 2F . Como não há atrito e as molas são massless, podemos aplicar a segunda lei de Newton para o sistema todo.
A força resultante a = FresM = 2F4m = F2m no sistema é a soma das forças externas atuantes. Supondo que as duas forças v(t) = v0 + at estejam atuando em direções que contribuem para o movimento do centro de massa, temos:
R(t) = R0 + v0 t + 12 a t^2
A aceleração do centro de massa R(t) = R0 + 12 a t^2 = d2 d2 + 12 cdot F2m t^2 = d2 d2 + F4m t^2 é dada por:
Integrando a aceleração, obtemos a velocidade e a posição :
Assumindo que no instante inicial a velocidade , temos:

Resposta

a) No instante inicial, a posição do centro de massa é R(t) = d2 d2 + F4m t^2 .
b) Em qualquer instante de tempo , a posição do centro de massa é:

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