Uma quantidade total de carga positiva
é espalhada sobre um anel circular plano de raio interno
e raio externo b. A carga é distribuida de modo que a densidade carga (carga por unidade de área) é dada por
, onde
é a distância desde o centro do anel a qualquer ponto deste. Determine O potencial elétrico no centro do anel, em função de
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema fala sobre distribuir uma carga elétrica positiva total
em um anel circular plano que tem um raio interno
e um raio externo
. A densidade de carga, ou seja, quanta carga tem por unidade de área, é dada pela fórmula
, onde
é a distância do centro do anel até qualquer ponto nele. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico no centro desse anel em função de
,
,
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico
em um ponto devido a uma distribuição de carga. A fórmula geral é:
Aqui,
é a densidade de carga,
é a distância entre o ponto onde queremos calcular o potencial e um elemento infinitesimal de área
que carrega uma carga
. Como queremos o potencial no centro do anel, a distância
de qualquer ponto do anel até o centro é simplesmente o raio daquele ponto.
Passo 3
No nosso caso, a densidade de carga
é dada por
. Vamos substituir essa expressão na fórmula do potencial:
Agora, precisamos expressar o elemento de área
em termos de
e integrar entre os limites do anel, que vão de
a
.
Passo 4
Para um anel circular, o elemento de área
pode ser expresso em coordenadas polares como:
Substituindo isso na integral, temos:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Substituindo de volta na expressão do potencial:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar
com a carga total
. Sabemos que a carga total é a integral da densidade de carga sobre toda a área do anel:
Calculando a integral:
Portanto:
Resolvendo para
:
Resposta
Substituindo
na expressão do potencial, temos:
Simplificando:
Portanto, o potencial elétrico no centro do anel é: