Uma quantidade total de carga positiva Q é espalhada sobre um anel circular plano de raio interno a e raio externo b. A carga é distribuida de modo que a densidade carga (carga por unidade de área) é dada por sigma=gamma / r^3, onde r é a distância desde o centro do anel a qualquer ponto deste. Determine O potencial elétrico no centro do anel, em função de Q, a, b e varepsilon0.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema fala sobre distribuir uma carga elétrica positiva total em um anel circular plano que tem um raio interno e um raio externo . A densidade de carga, ou seja, quanta carga tem por unidade de área, é dada pela fórmula , onde é a distância do centro do anel até qualquer ponto nele. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico no centro desse anel em função de , , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico V = 14pivarepsilon0 integral sigmar , dA em um ponto devido a uma distribuição de carga. A fórmula geral é:
Aqui, é a densidade de carga, é a distância entre o ponto onde queremos calcular o potencial e um elemento infinitesimal de área que carrega uma carga . Como queremos o potencial no centro do anel, a distância de qualquer ponto do anel até o centro é simplesmente o raio daquele ponto.

Passo 3

No nosso caso, a densidade de carga V = 14pivarepsilon0 integral gammar^3 cdot 1r , dA = gamma4pivarepsilon0 integral 1r^4 , dA é dada por . Vamos substituir essa expressão na fórmula do potencial:
Agora, precisamos expressar o elemento de área em termos de e integrar entre os limites do anel, que vão de a .

Passo 4

Para um anel circular, o elemento de área dA = 2pi r , dr pode ser expresso em coordenadas polares como:
V = gamma4pivarepsilon0 integrala^b 1r^4 cdot 2pi r , dr = gamma2varepsilon0 integrala^b 1r^3 , dr
Substituindo isso na integral, temos:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integrala^b 1r^3 , dr = [ -12r^2 ]a^b = -12b^2 + 12a^2 = 12a^2 - 12b^2
Substituindo de volta na expressão do potencial:
V = gamma2varepsilon0 ( 12a^2 - 12b^2 ) = gamma4varepsilon0 ( 1a^2 - 1b^2 )

Passo 6

Agora, precisamos relacionar Q = integral sigma , dA = integrala^b gammar^3 cdot 2pi r , dr = 2pigamma integrala^b 1r^2 , dr com a carga total integrala^b 1r^2 , dr = [ -1r ]a^b = -1b + 1a = 1a - 1b . Sabemos que a carga total é a integral da densidade de carga sobre toda a área do anel:
Q = 2pigamma ( 1a - 1b )
Calculando a integral:
gamma = Q2pi ( 1a - 1b ) = Q2pi ( b - aab ) = Qab2pi (b - a)
Portanto:
Resolvendo para :

Resposta

Substituindo V = 14varepsilon0 cdot Qab2pi (b - a) ( 1a^2 - 1b^2 ) = Qab8pivarepsilon0 (b - a) ( 1a^2 - 1b^2 ) na expressão do potencial, temos:
V = Q8pivarepsilon0 cdot b + aa b (b - a) = Q(b + a)8pivarepsilon0 a b (b - a)
Simplificando:
V = Q(a + b)8pivarepsilon0 a b (b - a)
Portanto, o potencial elétrico no centro do anel é:

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