Uma arma atira um projétil, com velocidade de 450 m / s, formando um ângulo de 60,0^circ com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a explosão é zero, cai verticalmente. Supondo que o terreno seja plano, a que distância da arma cairá o outro fragmento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem um projétil que é disparado com uma velocidade inicial de fazendo um ângulo de com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, esse projétil explode em dois pedaços de massas iguais. Um dos pedaços para completamente e cai verticalmente. A gente precisa descobrir a que distância da arma o outro pedaço vai aterrissar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento de projéteis e conservação do momento linear. Vamos precisar calcular a altura máxima do projétil, o tempo que leva para chegar lá, e como a explosão afeta o movimento dos fragmentos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do projétil até o ponto mais alto. No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero, mas a velocidade horizontal continua a mesma durante todo o voo, já que não tem aceleração na horizontal (ignorando a resistência do ar).
A velocidade horizontal inicial vx = v0 cos(theta) é dada por:
vx = 450 cos(60^circ) = 450 times 0,5 = 225 , m/s
onde e .
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo que o projétil leva para atingir o ponto mais alto. Para isso, usamos a componente vertical da velocidade inicial vy = v0 sin(theta) :
vy = 450 sin(60^circ) approx 450 times 0,8660 approx 389,7 , m/s
tsubida = vyg
No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero. Usando a equação do tempo de subida:
tsubida = 389,79,8 approx 39,76 , s
onde .
Calculando:

Passo 4

Agora, vamos descobrir a altura máxima alcançada pelo projétil. Usamos a seguinte equação:
h = vy tsubida - 12 g tsubida^2
Substituindo os valores:
h = 389,7 times 39,76 - 0,5 times 9,8 times (39,76)^2
Calculando:
h approx 389,7 times 39,76 - 0,5 times 9,8 times 1581,0 approx 15.498 , m - 7.755 , m approx 7.743 , m

Passo 5

No ponto mais alto, a explosão ocorre. Como um dos fragmentos para completamente, isso significa que toda a velocidade horizontal será transferida para o outro fragmento devido à conservação do momento linear.
A massa total do projétil é dividida igualmente, então cada fragmento tem metade da massa original. Vamos chamar a massa original de pinicial = m vx = m times 225 , m/s , então cada fragmento tem massa m times 225 = m2 times v' .
Antes da explosão, o momento horizontal do projétil é:
225 = v'2 implies v' = 450 , m/s
Depois da explosão, um fragmento para (contribui com momento zero) e o outro fragmento tem massa e velocidade . Pela conservação do momento:
Simplificando:
Então, o fragmento que não parou tem uma velocidade horizontal de .

Passo 6

Agora, vamos determinar quanto tempo esse fragmento leva para cair do ponto mais alto até o solo. A queda vertical é independente do movimento horizontal.
Usamos a equação da queda livre:
h = 12 g t^2
Resolvendo para t = raiz2hg = raiz2 times 77439,8 approx raiz1579 approx 39,76 , s :
Surpreendentemente, o tempo é o mesmo que o tempo de subida, o que faz sentido porque a aceleração é constante.

Passo 7

Finalmente, calculamos a distância horizontal que o fragmento percorre durante o tempo de queda. Como a velocidade horizontal é constante:
d = v' t = 450 times 39,76 approx 17.892 , m

Resposta

O outro fragmento cairá a aproximadamente 17.892 metros da arma.

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