Uma arma atira um projétil, com velocidade de
, formando um ângulo de
com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a explosão é zero, cai verticalmente. Supondo que o terreno seja plano, a que distância da arma cairá o outro fragmento?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem um projétil que é disparado com uma velocidade inicial de
fazendo um ângulo de
com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, esse projétil explode em dois pedaços de massas iguais. Um dos pedaços para completamente e cai verticalmente. A gente precisa descobrir a que distância da arma o outro pedaço vai aterrissar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento de projéteis e conservação do momento linear. Vamos precisar calcular a altura máxima do projétil, o tempo que leva para chegar lá, e como a explosão afeta o movimento dos fragmentos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do projétil até o ponto mais alto. No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero, mas a velocidade horizontal continua a mesma durante todo o voo, já que não tem aceleração na horizontal (ignorando a resistência do ar).
A velocidade horizontal inicial
é dada por:
onde
e
.
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos calcular o tempo que o projétil leva para atingir o ponto mais alto. Para isso, usamos a componente vertical da velocidade inicial
:
No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero. Usando a equação do tempo de subida:
onde
.
Calculando:
Passo 4
Agora, vamos descobrir a altura máxima alcançada pelo projétil. Usamos a seguinte equação:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 5
No ponto mais alto, a explosão ocorre. Como um dos fragmentos para completamente, isso significa que toda a velocidade horizontal será transferida para o outro fragmento devido à conservação do momento linear.
A massa total do projétil é dividida igualmente, então cada fragmento tem metade da massa original. Vamos chamar a massa original de
, então cada fragmento tem massa
.
Antes da explosão, o momento horizontal do projétil é:
Depois da explosão, um fragmento para (contribui com momento zero) e o outro fragmento tem massa
e velocidade
. Pela conservação do momento:
Simplificando:
Então, o fragmento que não parou tem uma velocidade horizontal de
.
Passo 6
Agora, vamos determinar quanto tempo esse fragmento leva para cair do ponto mais alto até o solo. A queda vertical é independente do movimento horizontal.
Usamos a equação da queda livre:
Resolvendo para
:
Surpreendentemente, o tempo é o mesmo que o tempo de subida, o que faz sentido porque a aceleração é constante.
Passo 7
Finalmente, calculamos a distância horizontal que o fragmento percorre durante o tempo de queda. Como a velocidade horizontal é constante:
Resposta
O outro fragmento cairá a aproximadamente 17.892 metros da arma.
Exercícios relacionados
Três partículas possuem as seguintes massas e coordenadas:
;
.
Encontre a posição deste sistema de partículas.
Encontre a posição
Uma espingarda atira 10 balas de
por segundo com velocidade de
. As balas param no interior de uma parede rígida. (a) Calcule o valor do momento linear de cada bala. (b) Calcule a energia cinética de cada bala. © Qual é o valor da força média exercida pelas balas sobre a parede?
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, de
, move-se para a direita a uma velocidade de módulo igual a
e o bloco B, de
, move-se para a direita a uma velocidade de módulo igual a
. (a) Calcular a energia cinética total do sistema de dois blocos.
(b) Calcular a velocidade do centro de massa dos dois blocos. © Calcular as velocidades dos dois blocos em relação ao centro de massa (referencial do centro de massa). (d) Calcular a energia cinética total do sistema de dois blocos no referencial do centro de massa. (e) Mostrar que a resposta do item (a) é maior que a resposta do item (d) e que a diferença entre os dois resultados é igual a energia cinética do centro de massa no referencial de laboratório. (f) Calcular o momento linear do sistema de dois blocos no referencial de laboratório e no referencial de centro de massa.
(b) Calcular a velocidade do centro de massa dos dois blocos. © Calcular as velocidades dos dois blocos em relação ao centro de massa (referencial do centro de massa). (d) Calcular a energia cinética total do sistema de dois blocos no referencial do centro de massa. (e) Mostrar que a resposta do item (a) é maior que a resposta do item (d) e que a diferença entre os dois resultados é igual a energia cinética do centro de massa no referencial de laboratório. (f) Calcular o momento linear do sistema de dois blocos no referencial de laboratório e no referencial de centro de massa.