Um aro de raio é colocado numa montagem sobre mancais e gira como se segue: O aro gira com velocidade angular constante em torno de seu próprio eixo, o qual, por sua vez roda com velocidade angular constante em torno de um eixo vertical de tal maneira que o eixo do aro permanece num plano horizontal e o centro do aro fica imóvel. Use coordenadas esféricas para encontrar a aceleração de qualquer ponto na periferia do aro. Em particular, encontre a aceleração do ponto mais alto do aro. (Sugestão: Use o fato de que coordenadas esféricas podem ser escolhidas tais que , .

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. A gente tem um aro de raio que está girando de duas maneiras diferentes: primeiro, ele gira com uma velocidade angular constante ao redor do seu próprio eixo. Depois, esse eixo gira com outra velocidade angular constante ao redor de um eixo vertical, mantendo o aro sempre no mesmo plano horizontal e o centro parado. Nosso objetivo é usar coordenadas esféricas para encontrar a aceleração de qualquer ponto na periferia do aro, especialmente do ponto mais alto.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, a posição de um ponto é definida por três parâmetros: a distância radial , o ângulo polar (medido a partir do eixo vertical) e o ângulo azimutal (medido no plano horizontal). Aí a dica nos diz para escolher , e .

Passo 3

Agora, precisamos lembrar como calcular a aceleração em coordenadas esféricas. A fórmula geral para a aceleração em coordenadas esféricas é:
Mas como é constante, . Além disso, , então e . Similarmente, , então e .

Passo 4

Substituindo essas condições na fórmula da aceleração, temos:

Passo 5

Agora, queremos achar especificamente a aceleração do ponto mais alto do aro. No ponto mais alto, (porque ele está no topo). Então, e .

Passo 6

Substituindo na expressão da aceleração:
Simplificando:

Resposta

A aceleração do ponto mais alto do aro é dada por:

Exercícios relacionados

A posição de uma partícula é dada em coordenadas polares planas por . Mostre que o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração permanece constante a proporção que a partícula se move para fora numa trajetória em espiral.
Mostre que o módulo da componente tangencial da aceleração é dada pela expressão
e que o módulo da componente normal é
Uma partícula se move numa trajetória helicoidal tal que sua posição, em coordenadas cilíndricas, é dada por
Encontre a velocidade escalar e o módulo da aceleração como funções do tempo.
Prove que e como consequência que para uma partícula que se move são perpendiculares entre sí se a velocidade escalar for constante. (Sugestão: Diferencie ambos os lados da equação com relação a . Lembre-se que não é o mesmo que |ạ|.)