Um aro de raio b é colocado numa montagem sobre mancais e gira como se segue: O aro gira com velocidade angular constante omega1 em torno de seu próprio eixo, o qual, por sua vez roda com velocidade angular constante omega2 em torno de um eixo vertical de tal maneira que o eixo do aro permanece num plano horizontal e o centro do aro fica imóvel. Use coordenadas esféricas para encontrar a aceleração de qualquer ponto na periferia do aro. Em particular, encontre a aceleração do ponto mais alto do aro. (Sugestão: Use o fato de que coordenadas esféricas podem ser escolhidas tais que r=b, theta=omega1 t e phi=omega2 t).

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. A gente tem um aro de raio que está girando de duas maneiras diferentes: primeiro, ele gira com uma velocidade angular constante ao redor do seu próprio eixo. Depois, esse eixo gira com outra velocidade angular constante ao redor de um eixo vertical, mantendo o aro sempre no mesmo plano horizontal e o centro parado. Nosso objetivo é usar coordenadas esféricas para encontrar a aceleração de qualquer ponto na periferia do aro, especialmente do ponto mais alto.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, a posição de um ponto é definida por três parâmetros: a distância radial , o ângulo polar (medido a partir do eixo vertical) e o ângulo azimutal (medido no plano horizontal). Aí a dica nos diz para escolher , e .

Passo 3

Agora, precisamos lembrar como calcular a aceleração em coordenadas esféricas. A fórmula geral para a aceleração a = ( ddotr - r dottheta^2 - r dotphi^2 sin^2 theta ) r + ( r ddottheta + 2 dotr dottheta - r dotphi^2 sin theta cos theta ) theta + ( r ddotphi sin theta + 2 r dotphi dottheta cos theta + 2 dotr dotphi sin theta ) phi em coordenadas esféricas é:
Mas como é constante, . Além disso, , então e . Similarmente, , então e .

Passo 4

Substituindo essas condições na fórmula da aceleração, temos:
a = ( - b omega1^2 - b omega2^2 sin^2 (omega1 t) ) r + ( - b omega2^2 sin (omega1 t) cos (omega1 t) ) theta + ( 2 b omega1 omega2 cos (omega1 t) ) phi

Passo 5

Agora, queremos achar especificamente a aceleração do ponto mais alto do aro. No ponto mais alto, (porque ele está no topo). Então, e .

Passo 6

Substituindo a = ( - b omega1^2 - b omega2^2 cdot 0 ) r + ( - b omega2^2 cdot 0 cdot 1 ) theta + ( 2 b omega1 omega2 cdot 1 ) phi na expressão da aceleração:
a = - b omega1^2 r + 2 b omega1 omega2 phi
Simplificando:

Resposta

A aceleração do ponto mais alto do aro é dada por:
a = - b omega1^2 , r + 2 b omega1 omega2 , phi

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