Um aro de raio
é colocado numa montagem sobre mancais e gira como se segue: O aro gira com velocidade angular constante
em torno de seu próprio eixo, o qual, por sua vez roda com velocidade angular constante
em torno de um eixo vertical de tal maneira que o eixo do aro permanece num plano horizontal e o centro do aro fica imóvel. Use coordenadas esféricas para encontrar a aceleração de qualquer ponto na periferia do aro. Em particular, encontre a aceleração do ponto mais alto do aro. (Sugestão: Use o fato de que coordenadas esféricas podem ser escolhidas tais que
,
.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. A gente tem um aro de raio
que está girando de duas maneiras diferentes: primeiro, ele gira com uma velocidade angular constante
ao redor do seu próprio eixo. Depois, esse eixo gira com outra velocidade angular constante
ao redor de um eixo vertical, mantendo o aro sempre no mesmo plano horizontal e o centro parado. Nosso objetivo é usar coordenadas esféricas para encontrar a aceleração de qualquer ponto na periferia do aro, especialmente do ponto mais alto.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, a posição de um ponto é definida por três parâmetros: a distância radial
, o ângulo polar
(medido a partir do eixo vertical) e o ângulo azimutal
(medido no plano horizontal). Aí a dica nos diz para escolher
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar como calcular a aceleração em coordenadas esféricas. A fórmula geral para a aceleração
em coordenadas esféricas é:
Mas como
é constante,
. Além disso,
, então
e
. Similarmente,
, então
e
.
Passo 4
Substituindo essas condições na fórmula da aceleração, temos:
Passo 5
Agora, queremos achar especificamente a aceleração do ponto mais alto do aro. No ponto mais alto,
(porque ele está no topo). Então,
e
.
Passo 6
Substituindo
na expressão da aceleração:
Simplificando:
Resposta
A aceleração do ponto mais alto do aro é dada por:
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula é dada em coordenadas polares planas por
. Mostre que o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração permanece constante a proporção que a partícula se move para fora numa trajetória em espiral.
Mostre que o módulo da componente tangencial da aceleração é dada pela expressão
e que o módulo da componente normal é
Uma partícula se move numa trajetória helicoidal tal que sua posição, em coordenadas cilíndricas, é dada por
Encontre a velocidade escalar e o módulo da aceleração como funções do tempo.
Prove que
e como consequência que para uma partícula que se move
são perpendiculares entre sí se a velocidade escalar
for constante. (Sugestão: Diferencie ambos os lados da equação
com relação a
. Lembre-se que
não é o mesmo que |ạ|.)