Mostre que o módulo da componente tangencial da aceleração é dada pela expressão
at=a cdot v|v|
e que o módulo da componente normal é
an=raiza^2-at^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar as fórmulas das componentes tangencial e normal da aceleração. Esse problema está relacionado ao estudo de movimento curvilíneo, especificamente às componentes da aceleração. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e de geometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a aceleração em um movimento curvilíneo pode ser decomposta em duas componentes: a tangencial e a normal . A componente tangencial está na direção da velocidade , enquanto a componente normal é perpendicular a .

Passo 3

Para encontrar a componente tangencial a cdot v = |a| , |v| cos(theta) , usamos o produto escalar entre a aceleração e a velocidade. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre e .

Passo 4

A componente tangencial da aceleração é a parte de cos(theta) = a cdot v|a| , |v| que está na direção de |a| cos(theta) = a cdot v|v| . Para isolar at = a cdot v|v| , dividimos ambos os lados da equação do produto escalar por :
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Portanto, a componente tangencial é:

Passo 5

Agora, para encontrar a componente normal |a|^2 = at^2 + an^2 , usamos o fato de que a aceleração total an = raiz|a|^2 - at^2 é a soma vetorial das componentes tangencial e normal:
Isolando , temos:

Resposta

Assim, mostramos que:
at=a cdot v|v|
e
an=raiza^2-at^2

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