Mostre que o módulo da componente tangencial da aceleração é dada pela expressão
e que o módulo da componente normal é

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar as fórmulas das componentes tangencial e normal da aceleração. Esse problema está relacionado ao estudo de movimento curvilíneo, especificamente às componentes da aceleração. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e de geometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a aceleração em um movimento curvilíneo pode ser decomposta em duas componentes: a tangencial e a normal . A componente tangencial está na direção da velocidade , enquanto a componente normal é perpendicular a .

Passo 3

Para encontrar a componente tangencial , usamos o produto escalar entre a aceleração e a velocidade. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre e .

Passo 4

A componente tangencial da aceleração é a parte de que está na direção de . Para isolar , dividimos ambos os lados da equação do produto escalar por :
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Portanto, a componente tangencial é:

Passo 5

Agora, para encontrar a componente normal , usamos o fato de que a aceleração total é a soma vetorial das componentes tangencial e normal:
Isolando , temos:

Resposta

Assim, mostramos que:
e

Exercícios relacionados

Uma partícula move-se numa trajetória elíptica dada pela equação . Encontre a velocidade escalar em função do tempo.
Prove que , onde é o raio de curvatura da trajetória de uma partícula em movimento.
A posição de uma partícula é dada em coordenadas polares planas por . Mostre que o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração permanece constante a proporção que a partícula se move para fora numa trajetória em espiral.
Um aro de raio é colocado numa montagem sobre mancais e gira como se segue: O aro gira com velocidade angular constante em torno de seu próprio eixo, o qual, por sua vez roda com velocidade angular constante em torno de um eixo vertical de tal maneira que o eixo do aro permanece num plano horizontal e o centro do aro fica imóvel. Use coordenadas esféricas para encontrar a aceleração de qualquer ponto na periferia do aro. Em particular, encontre a aceleração do ponto mais alto do aro. (Sugestão: Use o fato de que coordenadas esféricas podem ser escolhidas tais que , .