Mostre que o módulo da componente tangencial da aceleração é dada pela expressão
e que o módulo da componente normal é
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar as fórmulas das componentes tangencial e normal da aceleração. Esse problema está relacionado ao estudo de movimento curvilíneo, especificamente às componentes da aceleração. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e de geometria vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a aceleração
em um movimento curvilíneo pode ser decomposta em duas componentes: a tangencial
e a normal
. A componente tangencial está na direção da velocidade
, enquanto a componente normal é perpendicular a
.
Passo 3
Para encontrar a componente tangencial
, usamos o produto escalar entre a aceleração e a velocidade. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 4
A componente tangencial da aceleração é a parte de
que está na direção de
. Para isolar
, dividimos ambos os lados da equação do produto escalar por
:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Portanto, a componente tangencial é:
Passo 5
Agora, para encontrar a componente normal
, usamos o fato de que a aceleração total
é a soma vetorial das componentes tangencial e normal:
Isolando
, temos:
Resposta
Assim, mostramos que:
e
Exercícios relacionados
Uma partícula move-se numa trajetória elíptica dada pela equação
. Encontre a velocidade escalar em função do tempo.
Prove que
, onde
é o raio de curvatura da trajetória de uma partícula em movimento.
A posição de uma partícula é dada em coordenadas polares planas por
. Mostre que o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração permanece constante a proporção que a partícula se move para fora numa trajetória em espiral.
Um aro de raio
é colocado numa montagem sobre mancais e gira como se segue: O aro gira com velocidade angular constante
em torno de seu próprio eixo, o qual, por sua vez roda com velocidade angular constante
em torno de um eixo vertical de tal maneira que o eixo do aro permanece num plano horizontal e o centro do aro fica imóvel. Use coordenadas esféricas para encontrar a aceleração de qualquer ponto na periferia do aro. Em particular, encontre a aceleração do ponto mais alto do aro. (Sugestão: Use o fato de que coordenadas esféricas podem ser escolhidas tais que
,
.