Prove que v cdot a=v dotv e como consequência que para uma partícula que se move v e a são perpendiculares entre sí se a velocidade escalar v for constante. (Sugestão: Diferencie ambos os lados da equação v cdot v=v^2 com relação a t. Lembre-se que dotv não é o mesmo que |ạ|.)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que o produto escalar entre o vetor velocidade v e o vetor aceleração a é igual a v cdot dotv. Além disso, devemos mostrar que, se a velocidade escalar v for constante, os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de um vetor com ele mesmo é igual ao quadrado da sua magnitude. Ou seja:
v cdot v = v^2
Isso nos dá uma relação entre o vetor velocidade e sua magnitude.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo t. A derivada do lado esquerdo usando a regra do produto é:
ddt (v cdot v) = 2 v cdot dvdt
Aqui, dvdt é a aceleração a, então temos:
2 v cdot a

Passo 4

No lado direito da equação, a derivada de v^2 em relação ao tempo é:
ddt (v^2) = 2v cdot dotv
Onde dotv representa a derivada da velocidade escalar em relação ao tempo.

Passo 5

Igualando as duas expressões derivadas, temos:
2 v cdot a = 2v cdot dotv
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
v cdot a = v cdot dotv
Isso prova a primeira parte da questão.

Passo 6

Agora, vamos analisar a consequência dessa relação quando a velocidade escalar v é constante. Se v é constante, então sua derivada em relação ao tempo é zero:
dotv = 0
Substituindo na equação que provamos:
v cdot a = v cdot 0 = 0
Um produto escalar igual a zero indica que os vetores são perpendiculares.

Resposta

Portanto, provamos que v cdot a = v cdot dotv e, consequentemente, se a velocidade escalar v for constante, os vetores velocidade v e aceleração a são perpendiculares entre si.

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