Prove que e como consequência que para uma partícula que se move são perpendiculares entre sí se a velocidade escalar for constante. (Sugestão: Diferencie ambos os lados da equação com relação a . Lembre-se que não é o mesmo que |ạ|.)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor aceleração é igual a . Além disso, devemos mostrar que, se a velocidade escalar for constante, os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de um vetor com ele mesmo é igual ao quadrado da sua magnitude. Ou seja:
Isso nos dá uma relação entre o vetor velocidade e sua magnitude.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo . A derivada do lado esquerdo usando a regra do produto é:
Aqui, é a aceleração , então temos:

Passo 4

No lado direito da equação, a derivada de em relação ao tempo é:
Onde representa a derivada da velocidade escalar em relação ao tempo.

Passo 5

Igualando as duas expressões derivadas, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Isso prova a primeira parte da questão.

Passo 6

Agora, vamos analisar a consequência dessa relação quando a velocidade escalar é constante. Se é constante, então sua derivada em relação ao tempo é zero:
Substituindo na equação que provamos:
Um produto escalar igual a zero indica que os vetores são perpendiculares.

Resposta

Portanto, provamos que e, consequentemente, se a velocidade escalar for constante, os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares entre si.

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