Prove que
e como consequência que para uma partícula que se move
são perpendiculares entre sí se a velocidade escalar
for constante. (Sugestão: Diferencie ambos os lados da equação
com relação a
. Lembre-se que
não é o mesmo que |ạ|.)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que o produto escalar entre o vetor velocidade
e o vetor aceleração
é igual a
. Além disso, devemos mostrar que, se a velocidade escalar
for constante, os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e produto escalar de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de um vetor com ele mesmo é igual ao quadrado da sua magnitude. Ou seja:
Isso nos dá uma relação entre o vetor velocidade e sua magnitude.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo
. A derivada do lado esquerdo usando a regra do produto é:
Aqui,
é a aceleração
, então temos:
Passo 4
No lado direito da equação, a derivada de
em relação ao tempo é:
Onde
representa a derivada da velocidade escalar em relação ao tempo.
Passo 5
Igualando as duas expressões derivadas, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Isso prova a primeira parte da questão.
Passo 6
Agora, vamos analisar a consequência dessa relação quando a velocidade escalar
é constante. Se
é constante, então sua derivada em relação ao tempo é zero:
Substituindo na equação que provamos:
Um produto escalar igual a zero indica que os vetores são perpendiculares.
Resposta
Portanto, provamos que
e, consequentemente, se a velocidade escalar
for constante, os vetores velocidade
e aceleração
são perpendiculares entre si.