A posição de uma partícula é dada em coordenadas polares planas por . Mostre que o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração permanece constante a proporção que a partícula se move para fora numa trajetória em espiral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula em coordenadas polares, onde a posição dela é dada por e . Nosso objetivo é mostrar que o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração dessa partícula permanece constante enquanto ela se move em uma trajetória em espiral para fora. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial em coordenadas polares, como derivadas de e , e a fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as expressões para os vetores velocidade e aceleração. Em coordenadas polares, o vetor posição é dado por:
onde é o vetor unitário na direção radial.
A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
onde é o vetor unitário na direção angular.

Passo 3

Vamos calcular e :
Substituindo na expressão da velocidade:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração , que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:
Derivando cada termo da velocidade:
Além disso, precisamos lembrar que em coordenadas polares:
Aplicando essas derivadas:

Passo 5

Agora que temos e , vamos encontrar o ângulo entre eles. A fórmula para o ângulo entre dois vetores e é:
Vamos calcular o produto escalar :
Agora, vamos calcular as magnitudes e :

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula do ângulo:

Resposta

O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração permanece constante e é dado por:

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