Uma partícula se move numa trajetória helicoidal tal que sua posição, em coordenadas cilíndricas, é dada por
Encontre a velocidade escalar e o módulo da aceleração como funções do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre o movimento de uma partícula numa trajetória helicoidal. O que isso significa é que a partícula está se movendo em uma espécie de espiral, como se estivesse dando uma volta ao mesmo tempo que sobe ou desce. A gente vai usar conceitos de cinemática em coordenadas cilíndricas para resolver isso. Precisamos encontrar duas coisas: a velocidade escalar, que é a rapidez com que a partícula está se movendo, e o módulo da aceleração, que é quão rápido essa velocidade está mudando, tudo isso em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição da partícula no tempo. Ela está descrita pelas coordenadas cilíndricas:
Aqui, é a distância do ponto até o eixo central (constante ), é o ângulo que está aumentando com o tempo ( ), e é a altura que aumenta com o tempo ao quadrado ( ).

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade escalar, precisamos calcular a derivada da posição em relação ao tempo. Em coordenadas cilíndricas, a velocidade é dada por:
Mas, como é constante, a derivada de em relação ao tempo ( ) é zero:
Portanto, a velocidade fica:

Passo 4

Para achar a velocidade escalar , que é o módulo da velocidade, usamos o teorema de Pitágoras considerando as componentes da velocidade:

Passo 5

Agora, vamos para o módulo da aceleração. A aceleração em coordenadas cilíndricas é dada por:
Como é constante:
E como :
Além disso, para :
Substituindo na fórmula da aceleração:

Passo 6

Para encontrar o módulo da aceleração , novamente usamos o teorema de Pitágoras para as componentes:

Resposta

A velocidade escalar da partícula em função do tempo é:
E o módulo da aceleração é:

Exercícios relacionados

Um aro de raio é colocado numa montagem sobre mancais e gira como se segue: O aro gira com velocidade angular constante em torno de seu próprio eixo, o qual, por sua vez roda com velocidade angular constante em torno de um eixo vertical de tal maneira que o eixo do aro permanece num plano horizontal e o centro do aro fica imóvel. Use coordenadas esféricas para encontrar a aceleração de qualquer ponto na periferia do aro. Em particular, encontre a aceleração do ponto mais alto do aro. (Sugestão: Use o fato de que coordenadas esféricas podem ser escolhidas tais que , .
A posição de uma partícula é dada em coordenadas polares planas por . Mostre que o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração permanece constante a proporção que a partícula se move para fora numa trajetória em espiral.
Prove que e como consequência que para uma partícula que se move são perpendiculares entre sí se a velocidade escalar for constante. (Sugestão: Diferencie ambos os lados da equação com relação a . Lembre-se que não é o mesmo que |ạ|.)
Usando o fato de que o vetor tangente unitário pode ser expresso como
encontre uma expressão para o vetor normal unitário em termos de , e .