Uma partícula se move numa trajetória helicoidal tal que sua posição, em coordenadas cilíndricas, é dada por
Encontre a velocidade escalar e o módulo da aceleração como funções do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre o movimento de uma partícula numa trajetória helicoidal. O que isso significa é que a partícula está se movendo em uma espécie de espiral, como se estivesse dando uma volta ao mesmo tempo que sobe ou desce. A gente vai usar conceitos de cinemática em coordenadas cilíndricas para resolver isso. Precisamos encontrar duas coisas: a velocidade escalar, que é a rapidez com que a partícula está se movendo, e o módulo da aceleração, que é quão rápido essa velocidade está mudando, tudo isso em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição da partícula no tempo. Ela está descrita pelas coordenadas cilíndricas:
Aqui,
é a distância do ponto até o eixo central (constante
),
é o ângulo que está aumentando com o tempo (
), e
é a altura que aumenta com o tempo ao quadrado (
).
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade escalar, precisamos calcular a derivada da posição em relação ao tempo. Em coordenadas cilíndricas, a velocidade
é dada por:
Mas, como
é constante, a derivada de
em relação ao tempo (
) é zero:
Portanto, a velocidade fica:
Passo 4
Para achar a velocidade escalar
, que é o módulo da velocidade, usamos o teorema de Pitágoras considerando as componentes da velocidade:
Passo 5
Agora, vamos para o módulo da aceleração. A aceleração
em coordenadas cilíndricas é dada por:
Como
é constante:
E como
:
Além disso, para
:
Substituindo na fórmula da aceleração:
Passo 6
Para encontrar o módulo da aceleração
, novamente usamos o teorema de Pitágoras para as componentes:
Resposta
A velocidade escalar da partícula em função do tempo é:
E o módulo da aceleração é:
Exercícios relacionados
Um aro de raio
é colocado numa montagem sobre mancais e gira como se segue: O aro gira com velocidade angular constante
em torno de seu próprio eixo, o qual, por sua vez roda com velocidade angular constante
em torno de um eixo vertical de tal maneira que o eixo do aro permanece num plano horizontal e o centro do aro fica imóvel. Use coordenadas esféricas para encontrar a aceleração de qualquer ponto na periferia do aro. Em particular, encontre a aceleração do ponto mais alto do aro. (Sugestão: Use o fato de que coordenadas esféricas podem ser escolhidas tais que
,
.
A posição de uma partícula é dada em coordenadas polares planas por
. Mostre que o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração permanece constante a proporção que a partícula se move para fora numa trajetória em espiral.
Prove que
e como consequência que para uma partícula que se move
são perpendiculares entre sí se a velocidade escalar
for constante. (Sugestão: Diferencie ambos os lados da equação
com relação a
. Lembre-se que
não é o mesmo que |ạ|.)
Usando o fato de que o vetor tangente unitário
pode ser expresso como
encontre uma expressão para o vetor normal unitário em termos de
, e
.