Uma partícula se move numa trajetória helicoidal tal que sua posição, em coordenadas cilíndricas, é dada por
R=b phi=omega t z=c t^2
Encontre a velocidade escalar e o módulo da aceleração como funções do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre o movimento de uma partícula numa trajetória helicoidal. O que isso significa é que a partícula está se movendo em uma espécie de espiral, como se estivesse dando uma volta ao mesmo tempo que sobe ou desce. A gente vai usar conceitos de cinemática em coordenadas cilíndricas para resolver isso. Precisamos encontrar duas coisas: a velocidade escalar, que é a rapidez com que a partícula está se movendo, e o módulo da aceleração, que é quão rápido essa velocidade está mudando, tudo isso em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição da partícula no tempo. Ela está descrita pelas coordenadas cilíndricas:
R = b, phi = omega t, z = c t^2
Aqui, é a distância do ponto até o eixo central (constante ), é o ângulo que está aumentando com o tempo ( ), e é a altura que aumenta com o tempo ao quadrado ( ).

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade escalar, precisamos calcular a derivada da posição em relação ao tempo. Em coordenadas cilíndricas, a velocidade v = dotR , eR + R dotphi , ephi + dotz , ez é dada por:
dotR = 0
Mas, como v = 0 cdot eR + b omega , ephi + 2c t , ez é constante, a derivada de em relação ao tempo ( ) é zero:
Portanto, a velocidade fica:

Passo 4

Para achar a velocidade escalar v = raiz(b omega)^2 + (2c t)^2 = raizb^2 omega^2 + 4c^2 t^2 , que é o módulo da velocidade, usamos o teorema de Pitágoras considerando as componentes da velocidade:

Passo 5

Agora, vamos para o módulo da aceleração. A aceleração a = (ddotR - R dotphi^2) , eR + (R ddotphi + 2 dotR dotphi) , ephi + ddotz , ez em coordenadas cilíndricas é dada por:
dotR = 0 e ddotR = 0
Como dotphi = omega e ddotphi = 0 é constante:
ddotz = 2c
E como a = (-b omega^2) , eR + 0 cdot ephi + 2c , ez :
Além disso, para :
Substituindo na fórmula da aceleração:

Passo 6

Para encontrar o módulo da aceleração a = raiz(-b omega^2)^2 + (2c)^2 = raizb^2 omega^4 + 4c^2 , novamente usamos o teorema de Pitágoras para as componentes:

Resposta

A velocidade escalar da partícula em função do tempo é:
v(t) = raizb^2 omega^2 + 4c^2 t^2
E o módulo da aceleração é:
a = raizb^2 omega^4 + 4c^2

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