Um aro rola sem deslizar com velocidade constante sobre um plano horizontal. O momento de inércia em relação ao seu eixo que passa pelo centro de massa é M R^2. Sua energia cinética de rotação é
(A) igual à metade da sua energia cinética de translação.
(B) igual à sua energia cinética de translação.
© igual a um terço da sua energia cinética de translação.
(D) igual ao triplo da sua energia cinética de translação.
(E) quatro vezes a sua energia cinética de translação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um aro que está rolando sem deslizar em um plano horizontal com velocidade constante. A gente vai trabalhar com energia cinética de translação e de rotação, além do momento de inércia. Precisamos descobrir qual dessas energias está relacionada de forma específica de acordo com as opções fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é energia cinética de translação. Ela é a energia que um objeto tem devido ao seu movimento linear. A fórmula para calcular a energia cinética de translação ( Ktrans) é:
Ktrans = 12 M v^2
Aqui, M é a massa do aro e v é a velocidade de translação.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a energia cinética de rotação. Essa é a energia que o objeto tem devido ao seu movimento de rotação em torno de um eixo. A fórmula para a energia cinética de rotação ( Krot) é:
Krot = 12 I omega^2
Onde I é o momento de inércia e omega é a velocidade angular.

Passo 4

Sabemos que o aro está rolando sem deslizar. Isso significa que existe uma relação direta entre a velocidade linear ( v) e a velocidade angular ( omega):
v = omega R
Aqui, R é o raio do aro. Podemos rearranjar essa equação para encontrar omega:
omega = vR

Passo 5

Vamos substituir omega na fórmula da energia cinética de rotação:
Krot = 12 I (vR)^2
Como o momento de inércia I é dado por M R^2, substituímos:
Krot = 12 M R^2 (vR)^2 = 12 M v^2

Passo 6

Agora, vamos comparar as duas energias cinéticas:
Ktrans = 12 M v^2
Krot = 12 M v^2
Observamos que:
Krot = 12 Ktrans

Resposta

A energia cinética de rotação é igual à metade da sua energia cinética de translação. Alternativa (A).

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