Considere uma colisão frontal (de maneira que o movimento ocorre apenas em uma dimensão) entre duas partículas de massas m1=1 kg e m2=2 kg. Inicialmente a partícula de massa m1 move-se com velocidade 3 m / s e a de massa m2 com velocidade -3 m / s. Sabendo que a colisão é elástica, após a colisão, as velocidades das partículas de massa m1 e m2 serão, respectivamente:
(A) 0,0 m / s e-6,0 m / s
(B) 0,0 m / s e 6,0 m / s
© 1,0 m / s e 3,0 m / s
(D) -5,0 m / s e 1,0 m / s
(E) 5,0 m / s e-1,0 m / s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma colisão frontal entre duas massas, onde o movimento ocorre só numa direção (uma dimensão). As massas são m1 = 1 , kg e m2 = 2 , kg. Inicialmente, m1 está se movendo para a direita com velocidade 3 , m/s e m2 para a esquerda com velocidade -3 , m/s. A colisão é elástica, ou seja, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética são conservadas. Vamos usar as leis da conservação para encontrar as velocidades após a colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é conservação da quantidade de movimento. A quantidade de movimento (ou momento) de um objeto é dada por p = m times v, onde m é a massa e v é a velocidade. Na colisão, a quantidade de movimento total antes da colisão deve ser igual à quantidade de movimento total depois.
Então, a equação fica:
m1 times v1,i + m2 times v2,i = m1 times v1,f + m2 times v2,f
Onde:
  • v1,i = 3 , m/s (velocidade inicial de m1)
  • v2,i = -3 , m/s (velocidade inicial de m2)
  • v1,f e v2,f são as velocidades finais que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação da energia cinética. Em colisões elásticas, a energia cinética total também é conservada. A energia cinética de um objeto é dada por KE = 12 m v^2. Então, a equação fica:
12 m1 v1,i^2 + 12 m2 v2,i^2 = 12 m1 v1,f^2 + 12 m2 v2,f^2

Passo 4

Vamos substituir os valores que já conhecemos nas duas equações:
Conservação da quantidade de movimento:
1 times 3 + 2 times (-3) = 1 times v1,f + 2 times v2,f
3 - 6 = v1,f + 2 v2,f
-3 = v1,f + 2 v2,f (1)
Conservação da energia cinética:
12 times 1 times 3^2 + 12 times 2 times (-3)^2 = 12 times 1 times v1,f^2 + 12 times 2 times v2,f^2
12 times 1 times 9 + 12 times 2 times 9 = 12 v1,f^2 + 12 times 2 v2,f^2
4,5 + 9 = 12 v1,f^2 + v2,f^2
13,5 = 12 v1f^2 + v2,f^2 (2)

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. -3 = v1,f + 2 v2,f
  2. 13,5 = 12 v1,f^2 + v2,f^2
Vamos resolver a primeira equação para v1,f:
v1,f = -3 - 2 v2,f
Agora, substituímos essa expressão na segunda equação:
13,5 = 12 (-3 - 2 v2,f)^2 + v2,f^2
Vamos expandir e simplificar:
13,5 = 12 (9 + 12 v2,f + 4 v2,f^2) + v2,f^2
13,5 = 92 + 6 v2,f + 2 v2,f^2 + v2,f^2
13,5 = 92 + 6 v2,f + 3 v2,f^2
13,5 - 92 = 6 v2,f + 3 v2,f^2
13,5 - 4,5 = 6 v2,f + 3 v2,f^2
9 = 6 v2,f + 3 v2,f^2
Dividindo todos os termos por 3:
3 = 2 v2,f + v2,f^2
Rearranjando:
v2,f^2 + 2 v2,f - 3 = 0
Agora, resolvemos essa equação quadrática:
v2,f = -2 pm raiz(2)^2 - 4 times 1 times (-3)2 times 1
v2,f = -2 pm raiz4 + 122
v2,f = -2 pm raiz162
v2,f = -2 pm 42
Então, temos duas soluções:
  1. v2,f = -2 + 42 = 1 , m/s
  2. v2,f = -2 - 42 = -3 , m/s
Vamos verificar qual faz sentido no contexto. Se v2,f = -3 , m/s, então substituindo na primeira equação:
v1,f = -3 - 2(-3) = -3 + 6 = 3 , m/s
Mas isso significaria que as velocidades não mudaram, o que não ocorre em uma colisão elástica entre massas diferentes. Portanto, descartamos essa solução.
Então, v2,f = 1 , m/s.
Agora, substituindo de volta na primeira equação:
v1,f = -3 - 2(1) = -5 , m/s

Resposta

Após a colisão, as velocidades das partículas serão -5,0 , m/s e 1,0 , m/s, respectivamente. Portanto, a alternativa correta é a (D).

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