Na região do espaço -a / 2, limitada por superfícies condutoras em z=-a / 2 e z=a / 2, há uma onda eletromagnética no vácuo com um campo elétrico dado por
E=E(z, t) i=[E0 cos (k z-omega t)+E0 cos (-k z-omega t)] i=2 E0 cos (k z) cos (omega t) i,
onde omega=k c. Com a ajuda das equações de Maxwell em sua forma diferencial, determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região no espaço entre $ z = -\frac{a}{2} $ e $ z = \frac{a}{2} $ com superfícies condutoras nesses limites. Dentro dessa região, tem uma onda eletromagnética no vácuo com um campo elétrico dado por:
z = -a2
onde $ \omega = k c $. Vamos usar as equações de Maxwell na forma diferencial para descobrir o que precisamos. Precisamos entender como o campo magnético se comporta nessa situação e quais são as condições para as ondas estacionárias entre os condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as equações de Maxwell que vamos precisar. No vácuo, as equações de Maxwell em forma diferencial são:
  1. Lei de Gauss para o Campo Elétrico:
    nabla cdot E = 0
    (já que não há cargas no vácuo).
  2. Lei de Gauss para o Campo Magnético:
    nabla cdot B = 0
  3. Lei de Faraday da Indução:
    nabla times E = -partial Bpartial t
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
    nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Vamos focar nas últimas duas para encontrar o campo magnético $ \vec{B} $.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo elétrico $ \vec{E} $. Dado que $ \vec{E} = 2 E_0 \cos(k z) \cos(\omega t) \hat{i} $, o rotacional $ \nabla \times \vec{E} $ em coordenadas cartesianas é:
E
Como $ \vec{E} $ tem apenas a componente $ \hat{i} $, as derivadas em relação a $ y $ e $ z $ para $ E_y $ e $ E_z $ são zero. Portanto:
E = 2 E0 cos(k z) cos(omega t) i
Calculando a derivada:
nabla times E
Então,
nabla times E = ( partial Ezpartial y - partial Eypartial z ) i + ( partial Expartial z - partial Ezpartial x ) j + ( partial Eypartial x - partial Expartial y ) k

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei de Faraday:
nabla times E = -partial Bpartial t
Substituindo o que encontramos:
-2 k E0 sin(k z) cos(omega t) j = -partial Bpartial t
Multiplicando ambos os lados por -1:
2 k E0 sin(k z) cos(omega t) j = partial Bpartial t
Vamos integrar em relação ao tempo para encontrar $ \vec{B} $:
B
A integral de $ \cos(\omega t) $ é $ \frac{\sin(\omega t)}{\omega} $, então:
B = integral 2 k E0 sin(k z) cos(omega t) , dt j
Como não há campo magnético antes de t=0, a constante de integração $ \vec{C} $ é zero. Além disso, lembrando que $ \omega = k c $, podemos simplificar:
cos(omega t)

Passo 5

Agora temos o campo magnético $ \vec{B} $. Mas precisamos considerar as condições nas superfícies condutoras $ z = \pm \frac{a}{2} $. Em condutores, o campo elétrico tangencial deve ser zero na superfície.
O nosso campo elétrico é:
B
Aplicando a condição nas superfícies:
Para $ z = \frac{a}{2} $:
z = pm a2
Assim, $ \cos\left(\frac{k a}{2}\right) = 0 $. Isso acontece quando:
E = 2 E0 cos(k z) cos(omega t) i
Resolvendo para $ k $:
z = a2

Passo 6

Agora que temos os valores permitidos de $ k $, podemos escrever o campo elétrico e magnético final com esses valores. Portanto, os modos de onda estacionária permitidos na região são:
Campo elétrico:
k
Campo magnético:
E = 2 E0 cos((2n + 1)pi za) cos(omega t) i
onde $ n = 0,1,2,··· $

Resposta

Os modos de onda estacionária permitidos na região entre as superfícies condutoras são dados por:
E = 2 E0 cos((2n + 1)pi za) cos(omega t) i
e
B = 2 E0c sin((2n + 1)pi za) sin(omega t) j,
onde $ n = 0,1,2,··· $

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