Na região do espaço
, limitada por superfícies condutoras em
e
, há uma onda eletromagnética no vácuo com um campo elétrico dado por
onde
. Com a ajuda das equações de Maxwell em sua forma diferencial, determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região no espaço entre $ z = -\frac{a}{2} $ e $ z = \frac{a}{2} $ com superfícies condutoras nesses limites. Dentro dessa região, tem uma onda eletromagnética no vácuo com um campo elétrico dado por:
onde $ \omega = k c $. Vamos usar as equações de Maxwell na forma diferencial para descobrir o que precisamos. Precisamos entender como o campo magnético se comporta nessa situação e quais são as condições para as ondas estacionárias entre os condutores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as equações de Maxwell que vamos precisar. No vácuo, as equações de Maxwell em forma diferencial são:
-
Lei de Gauss para o Campo Elétrico:(já que não há cargas no vácuo).
-
Lei de Gauss para o Campo Magnético:
-
Lei de Faraday da Indução:
-
Lei de Ampère-Maxwell:
Vamos focar nas últimas duas para encontrar o campo magnético $ \vec{B} $.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo elétrico $ \vec{E} $. Dado que $ \vec{E} = 2 E_0 \cos(k z) \cos(\omega t) \hat{i} $, o rotacional $ \nabla \times \vec{E} $ em coordenadas cartesianas é:
Como $ \vec{E} $ tem apenas a componente $ \hat{i} $, as derivadas em relação a $ y $ e $ z $ para $ E_y $ e $ E_z $ são zero. Portanto:
Calculando a derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos usar a Lei de Faraday:
Substituindo o que encontramos:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Vamos integrar em relação ao tempo para encontrar $ \vec{B} $:
A integral de $ \cos(\omega t) $ é $ \frac{\sin(\omega t)}{\omega} $, então:
Como não há campo magnético antes de t=0, a constante de integração $ \vec{C} $ é zero. Além disso, lembrando que $ \omega = k c $, podemos simplificar:
Passo 5
Agora temos o campo magnético $ \vec{B} $. Mas precisamos considerar as condições nas superfícies condutoras $ z = \pm \frac{a}{2} $. Em condutores, o campo elétrico tangencial deve ser zero na superfície.
O nosso campo elétrico é:
Aplicando a condição nas superfícies:
Para $ z = \frac{a}{2} $:
Assim, $ \cos\left(\frac{k a}{2}\right) = 0 $. Isso acontece quando:
Resolvendo para $ k $:
Passo 6
Agora que temos os valores permitidos de $ k $, podemos escrever o campo elétrico e magnético final com esses valores. Portanto, os modos de onda estacionária permitidos na região são:
Campo elétrico:
Campo magnético:
onde $ n = 0,1,2,··· $
Resposta
Os modos de onda estacionária permitidos na região entre as superfícies condutoras são dados por:
e
onde $ n = 0,1,2,··· $