Considere um cilindro não condutor sólido de raio R.
(a) Calcule o campo elétrico em função de r para r e r>R para uma densidade de carga volumétrica rho(r^prime)=rho0 r^prime / R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o campo elétrico em função de $ r $ dentro ($ r < R r r > R $) de um cilindro sólido não condutor com raio $ R $. Vamos usar o conteúdo de Eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss, para resolver isso. Precisaremos entender como aplicar a Lei de Gauss a distribuições de carga com simetria cilíndrica e lidar com a densidade de carga volumétrica dada pela função $ \rho(r’) = \rho_0 \frac{r’}{R} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A fórmula é:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Onde:
  • $ \vec{E} $ é o campo elétrico,
  • $ d\vec{A} $ é um elemento de área na superfície fechada,
  • $ Q_{interno} $ é a carga total dentro da superfície,
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Para distribuir a carga de forma simétrica, escolhemos uma superfície gaussiana que simplifica os cálculos. No caso de um cilindro longo com simetria cilíndrica, a superfície gaussiana ideal é um cilindro coaxial com o cilindro de carga.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico para $ r < R $ primeiro, ou seja, dentro do cilindro. A superfície gaussiana é um cilindro de raio $ r $ e comprimento $ L $. Devido à simetria, o campo elétrico $ \vec{E} $ aponta radialmente para fora e tem o mesmo valor em toda a superfície gaussiana.
Então, o fluxo elétrico é:
r < R
Agora, precisamos encontrar a carga interna $ Q_{interno} $ dentro desse raio $ r $. A densidade de carga volumétrica é $ \rho(r’) = \rho_0 \frac{r’}{R} $. Então, a carga interna é:
r
Calculando a integral:
L

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss:
E(r) cdot 2pi r L = 2pi L rho0 r^33R varepsilon0
Simplificando os termos:
E(r) = rho0 r^23R varepsilon0
Então, para $ r < R $:
r < R

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico para $ r > R $, ou seja, fora do cilindro. A superfície gaussiana agora é um cilindro de raio $ r $ e comprimento $ L $. A carga interna agora é a carga total do cilindro.
Calculando a carga total $ Q_{total} $:
r > R
Aplicando a Lei de Gauss para $ r > R $:
r
Simplificando os termos:
L
Então, para $ r > R $:
Qtotal

Resposta

O campo elétrico é dado por:
E(r) = dfracrho0 r^23 R varepsilon0, & para r < R dfracrho0 R^23 varepsilon0 r, & para r > R

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