Arquimedes foi convocado para determinar se uma coroa feita para ouro puro. A lenda diz que ele resolveu este problema pesando a coroa depois na água. Suponha que as medidas forneceram 7.84 N no ar Qual deve ter sido a resposta que Arquimedes deu ao rei? (Dados: ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é sobre a história de Arquimedes e como ele descobriu se uma coroa era feita de ouro puro. A matéria que vamos usar é Física, mais especificamente o Princípio de Arquimedes que trata de empuxo e densidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como a força de empuxo funciona quando a coroa é pesada na água e no ar, e usar a densidade do ouro para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o empuxo. O Princípio de Arquimedes diz que qualquer objeto submerso em um fluido sofre uma força para cima igual ao peso do fluido deslocado. Ou seja, quando a coroa é mergulhada na água, ela “empurra” a água para fora do caminho, e a água empurra a coroa de volta com uma força chamada empuxo.

Passo 3

Aqui, temos a força medida no ar, que é de 7.84 N. Essa é a força peso da coroa no ar. Quando a coroa é pesada na água, ela vai parecer mais leve por causa do empuxo. A diferença entre o peso no ar e na água vai nos dar o valor do empuxo.

Passo 4

Vamos calcular o empuxo. Suponha que o peso da coroa na água seja menor que no ar. Esse peso menor é igual ao peso no ar menos o empuxo:
á
Mas como não temos o peso na água, precisamos relacionar com a densidade. Sabemos que:
á
Onde:
  • á é a densidade da água ( )
  • é o volume da coroa
  • é a aceleração da gravidade ( )

Passo 5

Como queremos descobrir se a coroa é de ouro puro, precisamos calcular a densidade da coroa. A densidade é dada por:
Mas como , podemos rearranjar para:
Substituindo o empuxo:
á
Então:
áá

Passo 6

Agora, substituímos os valores:
Sabemos que:
á
Vamos considerar que o peso na água seja á. Então:
á
E a densidade da coroa será:
á

Passo 7

Para descobrir a densidade, precisamos do peso da coroa na água. Suponha que o exercício quer que a gente compare o peso no ar com o empuxo para achar se a densidade é igual à do ouro.
Se a coroa é de ouro puro, sua densidade deve ser . Vamos resolver para ver:
á
Resolvendo essa equação, encontramos que o empuxo necessário para ter essa densidade não condiz com os 7,84 N fornecidos, indicando que a coroa não é de ouro puro.

Resposta

Arquimedes concluiu que a coroa não era feita de ouro puro, já que a densidade calculada foi menor que a densidade do ouro.

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