Um objeto de preso a uma mola oscila com amplitude de e periodo de . (a) Qual ê a energia total? (b) Qual है a velocidade maxima do objeto? © Em que posiçio a velocidade é igual à metade do seu valor máximo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um objeto de preso numa mola que oscila com uma amplitude de e um período de . A gente precisa calcular três coisas:
(a) A energia total do sistema,
(b) A velocidade máxima do objeto,
© A posição onde a velocidade é metade do máximo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS), como energia potencial, energia cinética e formulas relacionadas à velocidade em oscilações.

Passo 2

Parte (a): Qual é a energia total?

Primeiro, vamos lembrar que a energia total em um movimento harmônico simples é toda energia potencial máxima ou energia cinética máxima, já que elas se alternam durante a oscilação. A fórmula para energia total ( ) é:
Onde:
  • é a constante da mola,
  • é a amplitude.
Mas a gente não conhece ainda. Para achar , usamos a relação entre o período ( ) e a constante da mola:
Rearranjando para :
Vamos calcular primeiro.

Calculando :

Dados:
Substituindo:

Agora, calculando :

A amplitude ( ) é , que em metros fica .
Substituindo na fórmula da energia:

Passo 3

Parte (b): Qual é a velocidade máxima do objeto?

A velocidade máxima ( ) em MHS é dada por:
Onde:
  • é a frequência angular.
Primeiro, vamos achar . Ela está relacionada com o período pela fórmula:

Calculando :

Agora, calculando :

Passo 4

Parte ©: Em que posição a velocidade é igual à metade do seu valor máximo?

Queremos encontrar a posição ( ) onde:
A velocidade em MHS é dada por:
Igualando a metade da velocidade máxima:
Substituindo :
Dividindo ambos os lados por :
Elevando ao quadrado:
Substituindo :

Resposta

(a) A energia total é aproximadamente .
(b) A velocidade máxima do objeto é cerca de .
© A velocidade é metade do máximo quando o objeto está a aproximadamente da posição de equilíbrio.

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