Um objeto de
preso a uma mola oscila com amplitude de
e periodo de
. (a) Qual ê a energia total? (b) Qual है a velocidade maxima do objeto? © Em que posiçio a velocidade é igual à metade do seu valor máximo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um objeto de
preso numa mola que oscila com uma amplitude de
e um período de
. A gente precisa calcular três coisas:
(a) A energia total do sistema,
(b) A velocidade máxima do objeto,
© A posição onde a velocidade é metade do máximo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS), como energia potencial, energia cinética e formulas relacionadas à velocidade em oscilações.
(a) A energia total do sistema,
(b) A velocidade máxima do objeto,
© A posição onde a velocidade é metade do máximo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS), como energia potencial, energia cinética e formulas relacionadas à velocidade em oscilações.
Passo 2
Parte (a): Qual é a energia total?
Primeiro, vamos lembrar que a energia total em um movimento harmônico simples é toda energia potencial máxima ou energia cinética máxima, já que elas se alternam durante a oscilação. A fórmula para energia total (
) é:
Onde:
-
é a constante da mola, -
é a amplitude.
Mas a gente não conhece
ainda. Para achar
, usamos a relação entre o período (
) e a constante da mola:
Rearranjando para
:
Vamos calcular
primeiro.
Calculando
:
Dados:
Substituindo:
Agora, calculando
:
A amplitude (
) é
, que em metros fica
.
Substituindo na fórmula da energia:
Passo 3
Parte (b): Qual é a velocidade máxima do objeto?
A velocidade máxima (
) em MHS é dada por:
Onde:
-
é a frequência angular.
Primeiro, vamos achar
. Ela está relacionada com o período pela fórmula:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 4
Parte ©: Em que posição a velocidade é igual à metade do seu valor máximo?
Queremos encontrar a posição (
) onde:
A velocidade em MHS é dada por:
Igualando a metade da velocidade máxima:
Substituindo
:
Dividindo ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado:
Substituindo
:
Resposta
(a) A energia total é aproximadamente
.
(b) A velocidade máxima do objeto é cerca de
.
© A velocidade é metade do máximo quando o objeto está a aproximadamente
da posição de equilíbrio.
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