Um objeto de 3,0 kg preso a uma mola oscila com amplitude de 4,0 cm e periodo de 2,0 seg. (a) Qual ê a energia total? (b) Qual है a velocidade maxima do objeto? © Em que posiçio a velocidade é igual à metade do seu valor máximo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um objeto de 3,0 kg preso numa mola que oscila com uma amplitude de 4,0 cm e um período de 2,0 seg. A gente precisa calcular três coisas:
(a) A energia total do sistema,
(b) A velocidade máxima do objeto,
© A posição onde a velocidade é metade do máximo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS), como energia potencial, energia cinética e formulas relacionadas à velocidade em oscilações.

Passo 2

Parte (a): Qual é a energia total?

Primeiro, vamos lembrar que a energia total em um movimento harmônico simples é toda energia potencial máxima ou energia cinética máxima, já que elas se alternam durante a oscilação. A fórmula para energia total ( E) é:
E = 12 k A^2
Onde:
  • k é a constante da mola,
  • A é a amplitude.
Mas a gente não conhece k ainda. Para achar k, usamos a relação entre o período ( T) e a constante da mola:
T = 2pi raizmk
Rearranjando para k:
k = 4pi^2 mT^2
Vamos calcular k primeiro.

Calculando k:

Dados:
  • m = 3,0 kg
  • T = 2,0 seg
Substituindo:
k = 4pi^2 times 3,0(2,0)^2 = 12pi^24 = 3pi^2 , N/m

Agora, calculando E:

A amplitude ( A) é 4,0 cm, que em metros fica 0,04 m.
Substituindo na fórmula da energia:
E = 12 times 3pi^2 times (0,04)^2
E = 12 times 3pi^2 times 0,0016
E = 1,5pi^2 times 0,0016
E approx 1,5 times 9,8696 times 0,0016
E approx 0,0237 , J

Passo 3

Parte (b): Qual é a velocidade máxima do objeto?

A velocidade máxima ( vmax) em MHS é dada por:
vmax = A omega
Onde:
  • omega é a frequência angular.
Primeiro, vamos achar omega. Ela está relacionada com o período pela fórmula:
omega = 2piT

Calculando omega:

omega = 2pi2,0 = pi , rad/s

Agora, calculando vmax:

vmax = 0,04 times pi approx 0,04 times 3,1416 approx 0,126 , m/s

Passo 4

Parte ©: Em que posição a velocidade é igual à metade do seu valor máximo?

Queremos encontrar a posição ( x) onde:
v = vmax2
A velocidade em MHS é dada por:
v = omega raizA^2 - x^2
Igualando a metade da velocidade máxima:
vmax2 = omega raizA^2 - x^2
Substituindo vmax = omega A:
omega A2 = omega raizA^2 - x^2
Dividindo ambos os lados por omega:
A2 = raizA^2 - x^2
Elevando ao quadrado:
(A2)^2 = A^2 - x^2
A^24 = A^2 - x^2
x^2 = A^2 - A^24 = 3A^24
x = raiz34 A = raiz32 A
Substituindo A = 0,04 m:
x = raiz32 times 0,04 approx 0,0346 , m , (ou , 3,46 , cm)

Resposta

(a) A energia total é aproximadamente 0,0237 , J.
(b) A velocidade máxima do objeto é cerca de 0,126 , m/s.
© A velocidade é metade do máximo quando o objeto está a aproximadamente 3,46 , cm da posição de equilíbrio.

Exercícios relacionados