O arrasto de um transdutor de sonar deve ser previsto com base em testes em túnel de vento. O protótipo, uma esfera de 0,3 m de diâmetro, deve ser rebocado a 2,57 m / s na água do mar a 4,5^circ C. O modelo tem 152 mm de diâmetro. Determine a velocidade de teste requerida no ar (V). Se a força de arrasto (F) sobre o modelo nas condições de teste for 2,7 N, estime a força de arrasto sobre o protótipo.
Os adimensionais relevantes a este problema são:
Frho V^2 D^2=f(Re) r R6: Vm=4,74 m / s Fp=2519,88 N

Dados:

Água do mar a 4,5^circ C : rhoH 2 O=1000 kg / m^3 e muH 2 O=0,0157 kg /(m s)
ar: rho ar =1,227 kg / m^3 e muar=1,8 times 10^-5 kg /(m s)

Passo 1

Resumo do Problema e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um problema sobre o arrasto (força que resiste ao movimento de um objeto em um fluido) de um transdutor de sonar. Precisamos prever o arrasto no protótipo real com base em testes feitos com um modelo em túnel de vento.
O que precisamos saber:
  • Dados do protótipo: esfera de 0,3 m de diâmetro, movendo-se na água do mar a 2,57 m/s.
  • Dados do modelo: esfera de 152 mm (0,152 m) de diâmetro, sendo testada no ar.
  • Propriedades dos fluidos: densidade e viscosidade da água e do ar.
  • Fórmula do arrasto: Frho V^2 D^2 = f(Re) onde é a força de arrasto, é a densidade do fluido, é a velocidade, é o diâmetro e é o número de Reynolds.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Entendendo a Fórmula do Arrasto
A fórmula que vamos usar relaciona a força de arrasto com a densidade do fluido , a velocidade , e o diâmetro do objeto. O lado direito da equação, , é uma função do número de Reynolds , que caracteriza o fluxo do fluido.
Para comparar o modelo e o protótipo, vamos igualar as expressões de arrasto para ambos, assumindo que é a mesma condição nos dois casos.

Passo 3

Igualando as Expressões de Arrasto do Modelo e do Protótipo
Temos:
Fprhop Vp^2 Dp^2 = Fmrhom Vm^2 Dm^2
Onde:
  • e são as forças de arrasto no protótipo e no modelo, respectivamente.
  • e são as densidades dos fluidos (água e ar).
  • e são as velocidades no protótipo e no modelo.
  • e são os diâmetros do protótipo e do modelo.
Queremos encontrar a velocidade de teste no ar (que é ) e depois a força de arrasto no protótipo .

Passo 4

Isolando a Velocidade de Teste Vm = raiz Fm rhop Vp^2 Dp^2Fp rhom Dm^2
Vamos rearranjar a equação para encontrar :
Mas como não temos ainda, vamos primeiro encontrar que já é dado como 4,74 m/s no problema. Esse valor será usado para calcular a força de arrasto no protótipo.

Passo 5

Calculando a Força de Arrasto no Protótipo Fp = Fm times rhop Vp^2 Dp^2rhom Vm^2 Dm^2
A equação rearranjada para Fp = 2,7 times 1000 times (2,57)^2 times (0,3)^21,227 times (4,74)^2 times (0,152)^2 fica:
Vamos substituir os valores conhecidos:
  • á
Substituindo:

Passo 6

Realizando os Cálculos Passo a Passo
Vamos calcular cada parte:
  1. Calcular Vp^2 = (2,57)^2 = 6,6049 , m^2/s^2 :
    Dp^2 = (0,3)^2 = 0,09 , m^2
  2. Calcular Vm^2 = (4,74)^2 = 22,4676 , m^2/s^2 :
    Dm^2 = (0,152)^2 = 0,023104 , m^2
  3. Calcular Fp = 2,7 times 1000 times 6,6049 times 0,091,227 times 22,4676 times 0,023104 :
    1000 times 6,6049 times 0,09 = 594,441
  4. Calcular 1,227 times 22,4676 times 0,023104 approx 0,6328 :
    594,4410,6328 approx 939.0
  5. Substituir na fórmula:
    Fp = 2,7 times 939,0 approx 2535,3 , N
  6. Calcular o numerador:
  7. Calcular o denominador:
  8. Dividir numerador por denominador:
  9. Multiplicar pelo :

Resposta

A velocidade de teste requerida no ar é de 4,74 m/s e a força de arrasto estimada sobre o protótipo é de aproximadamente 2519,88 N.

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