Um tanque cilíndrico apresenta diâmetro e comprimento respectivamente iguais a 2,0 e 4,0m. o eixo do tanque está na horizontal e as paredes laterais do tanque são planas e verticais. Um tubo vertical, com diâmetro de 0,1 m, está conectado no topo do tanque. O tanque e o tubo estão preenchidos com álcool etílico e a superfície livre do fluido está a 1,5m acima do topo do tanque. Determine a força resultante com que o fluido atua sobre uma das tampas laterais do tanque e determine o ponto de aplicação desta força.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos precisar usar. Temos um tanque cilíndrico horizontal com diâmetro de 2,0 metros e comprimento de 4,0 metros. As paredes laterais são planas e verticais. Além disso, há um tubo vertical conectado no topo do tanque. O tanque e o tubo estão cheios de álcool etílico, e a superfície do fluido está a 1,5 metros acima do topo do tanque. Precisamos descobrir duas coisas:
  1. A força resultante que o fluido exerce sobre uma das paredes laterais do tanque.
  2. O ponto onde essa força está sendo aplicada.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática dos fluidos, especificamente a pressão hidrostática e como calcular a força total sobre uma superfície devido a essa pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a pressão varia dentro de um fluido parado. A pressão em um ponto qualquer dentro do fluido depende da profundidade desse ponto em relação à superfície livre do fluido. A fórmula para a pressão hidrostática é:
p = rho cdot g cdot h
Onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade do fluido,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a profundidade no fluido.
No nosso caso, o fluido é o álcool etílico. A densidade do álcool etílico é aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a parede lateral do tanque. Como a parede é vertical e o tanque está horizontal, a pressão varia com a altura da parede. A superfície do fluido está 1,5 metros acima do topo do tanque, então a profundidade máxima considerada será essa altura.
Para encontrar a força total sobre a parede, precisamos integrar a pressão ao longo da área da parede. A força F = integral0^H p cdot b , dh pode ser calculada pela seguinte integral:
F = integral0^1,5 rho cdot g cdot h cdot 4,0 , dh
Onde:
  • é a altura total do fluido acima do topo do tanque ( ),
  • é a largura da parede (neste caso, o comprimento do tanque, ),
  • varia de 0 a .
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora vamos resolver a integral para encontrar a força F = rho cdot g cdot 4,0 cdot integral0^1,5 h , dh :
integral0^1,5 h , dh = [ h^22 ]0^1,5 = (1,5)^22 - 0 = 2,252 = 1,125 , m^2
Calculando a integral:
F = 789 cdot 9,81 cdot 4,0 cdot 1,125
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora vamos calcular os valores numéricos:
F = 789 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 times 4,0 , m times 1,125 , m^2
Multiplicando passo a passo:
789 times 9,81 = 7.747,09 , N/m^3
7.747,09 times 4,0 = 30.988,36 , N/m^2
30.988,36 times 1,125 = 34.865,41 , N
Arredondando para duas casas decimais:
F approx 34.865,41 , N

Passo 6

Agora, precisamos determinar o ponto de aplicação dessa força. Para uma parede vertical plana, o ponto de aplicação da força resultante ocorre no centro de pressão. O centro de pressão para uma superfície vertical plana é dado por:
ycp = H2
Onde ycp = 1,52 = 0,75 , m é a profundidade máxima do fluido.
Substituindo os valores:
Isso significa que a força atua a 0,75 metros abaixo da superfície livre do fluido.

Resposta

A força resultante exercida pelo fluido sobre uma das tampas laterais do tanque é de aproximadamente e essa força está aplicada a abaixo da superfície livre do fluido.

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