Um tanque cilíndrico apresenta diâmetro e comprimento respectivamente iguais a 2,0 e 4,0m. o eixo do tanque está na horizontal e as paredes laterais do tanque são planas e verticais. Um tubo vertical, com diâmetro de
, está conectado no topo do tanque. O tanque e o tubo estão preenchidos com álcool etílico e a superfície livre do fluido está a 1,5m acima do topo do tanque. Determine a força resultante com que o fluido atua sobre uma das tampas laterais do tanque e determine o ponto de aplicação desta força.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos precisar usar. Temos um tanque cilíndrico horizontal com diâmetro de 2,0 metros e comprimento de 4,0 metros. As paredes laterais são planas e verticais. Além disso, há um tubo vertical conectado no topo do tanque. O tanque e o tubo estão cheios de álcool etílico, e a superfície do fluido está a 1,5 metros acima do topo do tanque. Precisamos descobrir duas coisas:
- A força resultante que o fluido exerce sobre uma das paredes laterais do tanque.
- O ponto onde essa força está sendo aplicada.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática dos fluidos, especificamente a pressão hidrostática e como calcular a força total sobre uma superfície devido a essa pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a pressão varia dentro de um fluido parado. A pressão em um ponto qualquer dentro do fluido depende da profundidade desse ponto em relação à superfície livre do fluido. A fórmula para a pressão hidrostática é:
Onde:
-
é a pressão, -
é a densidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a profundidade no fluido.
No nosso caso, o fluido é o álcool etílico. A densidade do álcool etílico é aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a parede lateral do tanque. Como a parede é vertical e o tanque está horizontal, a pressão varia com a altura da parede. A superfície do fluido está 1,5 metros acima do topo do tanque, então a profundidade máxima considerada será essa altura.
Para encontrar a força total sobre a parede, precisamos integrar a pressão ao longo da área da parede. A força
pode ser calculada pela seguinte integral:
Onde:
-
é a altura total do fluido acima do topo do tanque ( ), -
é a largura da parede (neste caso, o comprimento do tanque, ), -
varia de 0 a .
Substituindo
na integral:
Passo 4
Agora vamos resolver a integral para encontrar a força
:
Calculando a integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora vamos calcular os valores numéricos:
Multiplicando passo a passo:
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 6
Agora, precisamos determinar o ponto de aplicação dessa força. Para uma parede vertical plana, o ponto de aplicação da força resultante ocorre no centro de pressão. O centro de pressão para uma superfície vertical plana é dado por:
Onde
é a profundidade máxima do fluido.
Substituindo os valores:
Isso significa que a força atua a 0,75 metros abaixo da superfície livre do fluido.
Resposta
A força resultante exercida pelo fluido sobre uma das tampas laterais do tanque é de aproximadamente
e essa força está aplicada a
abaixo da superfície livre do fluido.