Com base na expressão abaixo, qual seria a equação para a condução unidimensional do calor na direção do raio, com geração de calor e em regime não estacionário?
Após escrever a equação interprete as componentes da equação resultante e descreva seu significado.
Após escrever a equação interprete as componentes da equação resultante e descreva seu significado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a equação para a condução unidimensional do calor na direção do raio, considerando que há geração de calor e estamos falando de um regime não estacionário. Isso envolve conteúdos de transferência de calor, especialmente a condução térmica, e vamos precisar entender como a temperatura varia com o tempo e com o espaço nessa direção radial. Para resolver isso, vamos usar a equação geral da condução de calor e simplificá-la para o caso específico que você pediu.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação geral da condução de calor que você forneceu:
Aqui, cada termo representa uma parte diferente da transferência de calor. Mas como queremos uma condução unidimensional na direção do raio, isso significa que a temperatura só varia ao longo do raio
e não nas outras direções (
e
). Então, podemos simplificar a equação eliminando os termos que envolvem as derivadas em
e
.
Passo 3
Com essa simplificação, a equação fica assim:
Agora, temos uma equação que só considera a variação da temperatura com o raio
e com o tempo
. Vamos entender cada parte dessa equação.
Passo 4
Vamos interpretar cada termo da equação resultante:
-
: Esse termo representa a variação da energia interna do material com o tempo. é a densidade do material, é o calor específico a pressão constante, e é a taxa de variação da temperatura no tempo. -
: Esse é o termo de condução de calor na direção radial. é a condutividade térmica do material, e esse termo leva em conta como a temperatura varia ao longo do raio. -
: Esse é o termo de geração de calor interna. Representa a quantidade de calor sendo gerada por unidade de volume dentro do material, como por exemplo, devido a reações químicas ou dissipações elétricas.
Então, a equação descreve como a temperatura varia no tempo e no raio devido à condução de calor e à geração de calor interna.
Resposta
A equação para a condução unidimensional do calor na direção do raio, com geração de calor e em regime não estacionário é: