A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado pela função
A(x) = 120 x^2 / (x^2 + 4)
em que A(x) é medido em milhões de dólares e x é o número de meses do filme em cartaz. Pergunta-se:
(a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês?
(b) Qual será a arrecadação do filme a longo do prazo?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre arrecadação de bilheteria de um filme de sucesso. A função que representa a arrecadação é , onde está em milhões de dólares e é o número de meses que o filme está em cartaz. Vamos usar conhecimentos de funções matemáticas para calcular a arrecadação após o primeiro e o segundo mês, e também para descobrir quanto o filme vai arrecadar a longo prazo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a arrecadação após o primeiro mês. Isso significa que vamos substituir na função :
Então, após o primeiro mês, a arrecadação foi de 24 milhões de dólares.

Passo 3

Agora, vamos calcular a arrecadação após o segundo mês, substituindo na função:
Portanto, após o segundo mês, a arrecadação foi de 60 milhões de dólares.

Passo 4

Para descobrir a arrecadação a longo prazo, precisamos ver o que acontece com quando se torna muito grande, ou seja, quando tende ao infinito. Matematicamente, calculamos o limite da função quando vai para infinito:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por :
Isso significa que, a longo prazo, a arrecadação do filme vai se estabilizar em 120 milhões de dólares.

Resposta

(a) Após o primeiro mês, a arrecadação foi de 24 milhões de dólares e, após o segundo mês, de 60 milhões de dólares.
(b) A arrecadação do filme a longo prazo será de 120 milhões de dólares.

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