O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t=tg(x / 2) converte qualquer função racional de sen x e cos x em uma função racional de t.
© Utilize a substituição t=tg(x / 2) para calcular a integral integral 13 sen x-4 cos x d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que calcular a integral:
Para isso, vamos usar a substituição integral 13 sen x - 4 cos x , dx , conforme sugerido por Weierstrass. Isso nos ajudará a transformar a expressão em termos de , facilitando a integração.

Passo 2

Com a substituição sen x = 2t1 + t^2 , precisamos expressar , cos x = 1 - t^21 + t^2 e dx = 21 + t^2 , dt em termos de . As fórmulas de substituição são:
Essas expressões nos permitem reescrever a integral completamente em função de .

Passo 3

Substituindo essas expressões na integral original:
integral 13 (2t1 + t^2) - 4 (1 - t^21 + t^2) cdot 21 + t^2 , dt
Simplificando o denominador:
3 (2t1 + t^2) - 4 (1 - t^21 + t^2) = 6t - 4 + 4t^21 + t^2
Então, a integral fica:
integral 1 + t^26t - 4 + 4t^2 cdot 21 + t^2 , dt = integral 24t^2 + 6t - 4 , dt

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
4t^2 + 6t - 4 = 2(2t^2 + 3t - 2)
Então, a integral fica:
integral 22(2t^2 + 3t - 2) , dt = integral 12t^2 + 3t - 2 , dt

Passo 5

Agora, fatoramos o denominador 2t^2 + 3t - 2 = (2t - 1)(t + 2) :
integral 1(2t - 1)(t + 2) , dt
Então, a integral se torna:

Passo 6

Para resolver essa fração, usamos a técnica de frações parciais. Vamos escrever:
1(2t - 1)(t + 2) = A2t - 1 + Bt + 2
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(t + 2) + B(2t - 1) :
1 = A(12 + 2) + B(0) Rightarrow 1 = A(52) Rightarrow A = 25
Agora, encontramos os valores de 1 = A(0) + B(-5) Rightarrow 1 = -5B Rightarrow B = -15 e :
Para :
Para :

Passo 7

Substituindo integral ( 252t - 1 - 15t + 2 ) , dt = 25 integral 12t - 1 , dt - 15 integral 1t + 2 , dt e 25 cdot 12 ln|2t - 1| - 15 ln|t + 2| + C = 15 ln|2t - 1| - 15 ln|t + 2| + C na integral:
Integrando:

Passo 8

Fatorando o 15 ( ln|2t - 1| - ln|t + 2| ) + C = 15 ln| 2t - 1t + 2 | + C :

Passo 9

Agora, substituímos 15 ln| 2 tan(x2) - 1tan(x2) + 2 | + C :

Resposta

A integral é igual a
15 ln| 2 tan(x2) - 1tan(x2) + 2 | + C

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