O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de sen e em uma função racional de .
© Utilize a substituição para calcular a integral .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que calcular a integral:
Para isso, vamos usar a substituição , conforme sugerido por Weierstrass. Isso nos ajudará a transformar a expressão em termos de , facilitando a integração.

Passo 2

Com a substituição , precisamos expressar , e em termos de . As fórmulas de substituição são:
Essas expressões nos permitem reescrever a integral completamente em função de .

Passo 3

Substituindo essas expressões na integral original:
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, fatoramos o denominador :
Então, a integral se torna:

Passo 6

Para resolver essa fração, usamos a técnica de frações parciais. Vamos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, encontramos os valores de e :
Para :
Para :

Passo 7

Substituindo e na integral:
Integrando:

Passo 8

Fatorando o :

Passo 9

Agora, substituímos :

Resposta

A integral é igual a

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Calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
Encontre a solução geral da equação:
A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado pela função
em que é medido em milhões de dólares e é o número de meses do filme em cartaz. Pergunta-se:
(a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês?
(b) Qual será a arrecadação do filme a longo do prazo?
Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)