Calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver dois limites aqui que envolvem funções com radicais e comportamentos quando as variáveis vão para o infinito. Precisamos entender como simplificar expressões com raízes cúbicas e quadradas para encontrar os resultados desses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos considerar que para números grandes de
, termos de menor ordem como
e constantes podem influenciar o resultado, mas de maneira simplificada.
Sabemos que:
Aplicando isso nas duas raízes cúbicas:
Agora, subtraindo as duas expressões:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero. Porém, revisando a aproximação, percebemos que na verdade a principal diferença entre as duas raízes é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite:
Para grandes valores de
, podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a expressão original fica:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero, então a expressão simplifica para:
Resposta
(a) O limite é
.
(b) O limite é
.
Exercícios relacionados
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de sen
e
em uma função racional de
.
© Utilize a substituição para calcular a integral
.
© Utilize a substituição
A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado pela função
em que
é medido em milhões de dólares e
é o número de meses do filme em cartaz. Pergunta-se:
(a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês?
(b) Qual será a arrecadação do filme a longo do prazo?
(a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês?
(b) Qual será a arrecadação do filme a longo do prazo?