Uma árvore foi transplantada e após x anos está crescendo à razão de h'(x) = 0,5 + (x + 1)^-2 metros por ano. Quanto a árvore cresceu no segundo ano?

Passo 1

Vamos entender o problema: uma árvore foi transplantada e está crescendo de acordo com a taxa metros por ano, onde representa os anos após o transplante. Precisamos descobrir quanto a árvore cresceu no segundo ano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração de uma função de taxa de crescimento para encontrar a variação total nesse período.

Passo 2

Primeiro, identificamos que representa a taxa de crescimento da árvore em qualquer ano . Para encontrar o crescimento total no segundo ano, precisamos calcular a diferença do crescimento da árvore entre o primeiro e o segundo ano.

Passo 3

Matematicamente, isso significa que devemos integrar a função de até . A integração nos dará a variação total de crescimento nesse intervalo de tempo.

Passo 4

Vamos calcular a integral de de 1 a 2:

Passo 5

Integrando cada termo separadamente:
A integral de em relação a é .
A integral de é .

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 7

Somando os resultados das integrais:

Resposta

A árvore cresceu metros no segundo ano.

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