Dados colhidos pela Secretaria de Segurança Pública mostram que daqui a x anos o número de presidiários do município estará aumentando à taxa de 280 * e^(0.2 * x) presidiários por ano. No momento, existem 2000 detentos nas prisões do município. Quantos detentos terá o município daqui a 10 anos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que o número de presidiários no município está aumentando a uma taxa que depende do tempo, representada pela fórmula presidiários por ano. Atualmente, há 2000 detentos. A pergunta é: quantos detentos haverá daqui a 10 anos?
Conteúdo da matéria: Aqui estamos lidando com taxas de variação e integração, que fazem parte do cálculo diferencial e integral. Vamos precisar integrar a taxa de variação para encontrar o total de detentos após 10 anos.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a taxa de aumento para uma função que representa como o número de detentos muda ao longo do tempo. A taxa de aumento é dada por , onde é o número de detentos e é o tempo em anos.
Isso significa que para encontrar o número total de detentos após anos, precisamos integrar essa taxa de variação em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos realizar a integração da taxa de variação para encontrar a função :
Para integrar , usamos a regra da integração de funções exponenciais:
onde nesse caso.

Passo 4

Aplicando a regra da integração:
Simplificando :
Então, temos:

Passo 5

Agora, precisamos determinar a constante de integração . Sabemos que no momento atual ( ), há 2000 detentos. Vamos usar essa informação para encontrar :
Como , fica:

Passo 6

Agora que temos , podemos escrever a função completa para :

Passo 7

Queremos saber quantos detentos haverá daqui a 10 anos, ou seja, precisamos calcular :
Sabemos que é aproximadamente 7,389.

Passo 8

Substituindo o valor de :
Arredondando para o número inteiro mais próximo, já que não faz sentido ter uma fração de detento:

Resposta

Daqui a 10 anos, o município terá aproximadamente 10.945 detentos nas prisões.

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