Dados colhidos pela Secretaria de Segurança Pública mostram que daqui a
anos o número de presidiários do município estará aumentando à taxa de
presidiários por ano. No momento, existem 2000 detentos nas prisões do município. Quantos detentos terá o município daqui a 10 anos?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que o número de presidiários no município está aumentando a uma taxa que depende do tempo, representada pela fórmula
presidiários por ano. Atualmente, há 2000 detentos. A pergunta é: quantos detentos haverá daqui a 10 anos?
Conteúdo da matéria: Aqui estamos lidando com taxas de variação e integração, que fazem parte do cálculo diferencial e integral. Vamos precisar integrar a taxa de variação para encontrar o total de detentos após 10 anos.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a taxa de aumento para uma função que representa como o número de detentos muda ao longo do tempo. A taxa de aumento é dada por
, onde
é o número de detentos e
é o tempo em anos.
Isso significa que para encontrar o número total de detentos após
anos, precisamos integrar essa taxa de variação em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos realizar a integração da taxa de variação para encontrar a função
:
Para integrar
, usamos a regra da integração de funções exponenciais:
onde
nesse caso.
Passo 4
Aplicando a regra da integração:
Simplificando
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, precisamos determinar a constante de integração
. Sabemos que no momento atual (
), há 2000 detentos. Vamos usar essa informação para encontrar
:
Como
, fica:
Passo 6
Agora que temos
, podemos escrever a função completa para
:
Passo 7
Queremos saber quantos detentos haverá daqui a 10 anos, ou seja, precisamos calcular
:
Sabemos que
é aproximadamente 7,389.
Passo 8
Substituindo o valor de
:
Arredondando para o número inteiro mais próximo, já que não faz sentido ter uma fração de detento:
Resposta
Daqui a 10 anos, o município terá aproximadamente 10.945 detentos nas prisões.