Determine a função
cuja inclinação da reta tangente no ponto
é igual a
e cujo gráfico passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função
cuja inclinação da reta tangente em cada ponto
é igual a
. Além disso, sabemos que o gráfico dessa função passa pelo ponto
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, temos que:
Para encontrar
, vamos integrar essa expressão em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a integral de
em relação a
. Para facilitar a integração, faremos uma substituição simples.
Deixe:
Substituindo na integral:
Agora, integramos
:
Voltando para
:
Então, a função geral é:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
na expressão de
:
Então:
Resposta
A função que satisfaz as condições do exercício é: