Determine a função y(x) cuja inclinação da reta tangente no ponto (x, y(x)) é igual a x*(x^2 + 1)^3 e cujo gráfico passa pelo ponto 1,5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função cuja inclinação da reta tangente em cada ponto é igual a . Além disso, sabemos que o gráfico dessa função passa pelo ponto . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, temos que:
Para encontrar , vamos integrar essa expressão em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a integral de em relação a . Para facilitar a integração, faremos uma substituição simples.
Deixe:
Substituindo na integral:
Agora, integramos :
Voltando para :
Então, a função geral é:

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante .
Substituindo na expressão de :
Então:

Resposta

A função que satisfaz as condições do exercício é:

Exercícios relacionados