Calcule as integrais abaixo:
© integral-1^2 30(5 x-2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrando funções polinomiais. Para resolver, a gente vai precisar expandir a expressão dentro do integral e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (5x - 2)^2 = (5x)^2 - 2 cdot 5x cdot 2 + 2^2 = 25x^2 - 20x + 4 . Lembre-se que . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, substituímos a expressão expandida de volta na integral:
integral-1^2 30(25x^2 - 20x + 4) , dx

Passo 4

Vamos distribuir o 30 dentro dos parênteses:
integral-1^2 (750x^2 - 600x + 120) , dx

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
integral 750x^2 , dx = 750 cdot x^33 = 250x^3
integral -600x , dx = -600 cdot x^22 = -300x^2
integral 120 , dx = 120x

Passo 6

Juntando as integrais, temos a antiderivada:
250x^3 - 300x^2 + 120x

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de [250x^3 - 300x^2 + 120x]-1^2 = (250(2)^3 - 300(2)^2 + 120(2)) - (250(-1)^3 - 300(-1)^2 + 120(-1)) a :

Passo 8

Calculando cada parte:
Para 250(8) - 300(4) + 120(2) = 2000 - 1200 + 240 = 1040 :
250(-1) - 300(1) + 120(-1) = -250 - 300 - 120 = -670
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores:
1040 - (-670) = 1040 + 670 = 1710

Resposta

O valor da integral é .

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