Nos itens a seguir, determine a área da região indicada:
© a região limitada pela curva y = x^4 e pela reta y = x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar a área da região limitada pela curva e pela reta . Vamos trabalhar com conceitos de integração, que é uma ferramenta poderosa para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, resolver a equação . Isso vai nos dizer os limites de integração.

Passo 3

Resolvendo :
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos determinar qual das funções está acima da outra no intervalo de a . Por exemplo, se escolhermos :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 5

A área entre as duas curvas de a é dada pela integral da diferença das funções:
Á
Aqui, e , com e .

Passo 6

Vamos configurar a integral:
Á

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma área definida, podemos ignorar .

Passo 8

Aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Á

Passo 9

Calculando os valores:

Resposta

A área da região limitada pela curva e pela reta é unidades de área.

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