Nos itens a seguir, determine a área da região indicada:
© a região limitada pela curva
e pela reta
.
© a região limitada pela curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar a área da região limitada pela curva
e pela reta
. Vamos trabalhar com conceitos de integração, que é uma ferramenta poderosa para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, resolver a equação
. Isso vai nos dizer os limites de integração.
Passo 3
Resolvendo
:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar qual das funções está acima da outra no intervalo de
a
. Por exemplo, se escolhermos
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
A área entre as duas curvas de
a
é dada pela integral da diferença das funções:
Aqui,
e
, com
e
.
Passo 6
Vamos configurar a integral:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma área definida, podemos ignorar
.
Passo 8
Aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Passo 9
Calculando os valores:
Resposta
A área da região limitada pela curva
e pela reta
é
unidades de área.