A asa de um avião deve ser mantida toda ela em uma temperatura mínima de 5 ^circ C para evitar congelamento em voo de cruzeiro. Um avião em voo de cruzeiro possui uma velocidade de 110 m / s e o ar ambiente encontra-se na temperatura de - 12 ^circ C. Considere que o calor é dissipado para o ar através de ambas as superfícies superior e inferior da asa. A largura da asa (direção de escoamento do ar) é igual a 4,5 m e a área de cada uma das superfícies (superior e inferior) é igual a 25 m^2. As características físicas das superfícies superior e inferior são diferentes de modo que o Reynolds crítico de transição na superfície superior é igual a 1,4 cdot 10^8 e na superfície inferior é igual a 5,1 cdot 10^8. O número de Nusselt local em ambas as superfícies (superior e inferior) é dado por N ux=h cdot xk=0,451 cdot Rex^0,6 cdot Pr^1 / 3 e N ux=h cdot xk= 0,012 cdot Rex ^0,2 cdot Pr^1 / 3 para os regimes laminar e turbulento, respectivamente. Propriedades do ar: v=1,2 cdot 10^-6 m^2 / s, k=2 cdot 10^-2 W / mK, Pr=0,8, rho= 1,22 kg / m^3. Determine:
b) A força de arrasto total que o ar exerce sobre a asa.

Passo 1

Então, pessoal! A gente tem uma questão que pede para calcular a força de arrasto total que o ar exerce sobre a asa de um avião durante o voo de cruzeiro. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de aerodinâmica, como número de Reynolds, regime de escoamento (laminar ou turbulento), número de Nusselt e coeficiente de atrito de superfície. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a força de arrasto. A força de arrasto $ F_D $ é a resistência que o ar oferece ao movimento da asa do avião. Para calcular essa força, usamos a seguinte fórmula:
FD
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade do ar
  • $ v $ é a velocidade do avião
  • $ C_D $ é o coeficiente de arrasto
  • $ A $ é a área da asa
Mas, no nosso caso, precisamos considerar que o arrasto vem das superfícies superior e inferior da asa, e que o comportamento do fluxo de ar pode ser laminar ou turbulento dependendo do número de Reynolds.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o número de Reynolds ($ Re $) para as superfícies superior e inferior. O número de Reynolds nos ajuda a saber se o fluxo é laminar ou turbulento. A fórmula é:
Re
Onde:
  • $ L $ é o comprimento característico (vamos usar o comprimento da asa)
  • $ \mu $ é a viscosidade dinâmica
  • $ \nu $ é a viscosidade cinemática
Dado que a viscosidade cinemática $ \nu = 1,2 \times 10^{-6} , \mathrm{m}^2/\mathrm{s} $, a densidade $ \rho = 1,22 , \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 $, e a velocidade $ v = 110 , \mathrm{m}/\mathrm{s} $, precisamos determinar $ L $.
A área de cada superfície é $ A = 25 , \mathrm{m}^2 $ e a largura $ b = 4,5 , \mathrm{m} $. Assim, o comprimento $ L $ da asa é:
Re = rho v Lmu = v Lnu
Agora, calculamos $ Re $:
L

Passo 4

Agora que temos o número de Reynolds, vamos comparar com o Reynolds crítico para saber o regime de escoamento:
  • Superfície superior: $ Re_{crítico} = 1,4 \times 10^8 $
  • Superfície inferior: $ Re_{crítico} = 5,1 \times 10^8 $
Como nosso $ Re = 5,11 \times 10^8 $:
  • Para a superfície superior: $ Re > Re_{crítico} $, então o escoamento é turbulento.
  • Para a superfície inferior: $ Re \approx Re_{crítico} $, assumimos que o escoamento está próximo da transição para turbulento.

Passo 5

Agora, vamos calcular o coeficiente de atrito $ C_f $ para cada superfície usando o número de Nusselt ($ Nu_x $) fornecido e a relação entre $ Nu_x $ e $ C_f $.
Sabemos que:
Cf
E também que:
Nux
Nux
Como nosso escoamento é turbulento para a superfície superior e próximo da transição para a inferior, vamos usar a fórmula turbulenta para ambas.
Agora, relacionamos $ Nu_x $ ao coeficiente de atrito $ C_f $. Sabemos que:
Cf
Onde $ \tau $ é a tensão de cisalhamento na superfície. Mas para simplificar, podemos relacionar $ C_f $ diretamente com $ Re $, já que em escoamento turbulento, $ C_f $ é geralmente proporcional a $ Re^{-0,2} $.
Portanto, usamos:
Nux = h xk
Simplificando:
Nux = 0,451 Rex^0,6 Pr^1/3 (laminar)

Passo 6

Vamos agora calcular o coeficiente de atrito $ C_f $ para cada superfície:
Para a superfície superior ($ Re_{x} = 5,11 \times 10^8 $):
Cf
Calculando $ (0,8)^{1/3} \approx 0,928 $ e $ (5,11 \times 108){-0,8} \approx 2,6 \times 10^{-7} $:
Rex = 5,11 times 10^8
Para a superfície inferior ($ Re_{x} = 5,11 \times 10^8 $):
Cf, superior = 0,012 times (0,8)^1/3 times (5,11 times 10^8)^-0,8

Passo 7

Agora, vamos calcular a força de arrasto $ F_D $ para cada superfície usando a fórmula:
FD
Para a superfície superior:
FD = 12 rho v^2 Cf A
Calculando:
FD, superior = 12 times 1,22 times (110)^2 times 2,89 times 10^-9 times 25
Para a superfície inferior:
FD, superior = 0,5 times 1,22 times 12100 times 2,89 times 10^-9 times 25 approx 4,24 times 10^-3 , N

Resposta

A força de arrasto total que o ar exerce sobre a asa é aproximadamente $ 8,48 \times 10^{-3} , \mathrm{N} $.

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