A asa de um avião deve ser mantida toda ela em uma temperatura mínima de
para evitar congelamento em voo de cruzeiro. Um avião em voo de cruzeiro possui uma velocidade de
e o ar ambiente encontra-se na temperatura de -
. Considere que o calor é dissipado para o ar através de ambas as superfícies superior e inferior da asa. A largura da asa (direção de escoamento do ar) é igual a
e a área de cada uma das superfícies (superior e inferior) é igual a
. As características físicas das superfícies superior e inferior são diferentes de modo que o Reynolds crítico de transição na superfície superior é igual a
e na superfície inferior é igual a
. O número de Nusselt local em ambas as superfícies (superior e inferior) é dado por
e
para os regimes laminar e turbulento, respectivamente. Propriedades do ar:
. Determine:
b) A força de arrasto total que
ar exerce sobre a asa.
b) A força de arrasto total que
Passo 1
Então, pessoal! A gente tem uma questão que pede para calcular a força de arrasto total que o ar exerce sobre a asa de um avião durante o voo de cruzeiro. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de aerodinâmica, como número de Reynolds, regime de escoamento (laminar ou turbulento), número de Nusselt e coeficiente de atrito de superfície. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a força de arrasto. A força de arrasto $ F_D $ é a resistência que o ar oferece ao movimento da asa do avião. Para calcular essa força, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade do ar
- $ v $ é a velocidade do avião
- $ C_D $ é o coeficiente de arrasto
- $ A $ é a área da asa
Mas, no nosso caso, precisamos considerar que o arrasto vem das superfícies superior e inferior da asa, e que o comportamento do fluxo de ar pode ser laminar ou turbulento dependendo do número de Reynolds.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o número de Reynolds ($ Re $) para as superfícies superior e inferior. O número de Reynolds nos ajuda a saber se o fluxo é laminar ou turbulento. A fórmula é:
Onde:
- $ L $ é o comprimento característico (vamos usar o comprimento da asa)
- $ \mu $ é a viscosidade dinâmica
- $ \nu $ é a viscosidade cinemática
Dado que a viscosidade cinemática $ \nu = 1,2 \times 10^{-6} , \mathrm{m}^2/\mathrm{s} $, a densidade $ \rho = 1,22 , \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 $, e a velocidade $ v = 110 , \mathrm{m}/\mathrm{s} $, precisamos determinar $ L $.
A área de cada superfície é $ A = 25 , \mathrm{m}^2 $ e a largura $ b = 4,5 , \mathrm{m} $. Assim, o comprimento $ L $ da asa é:
Agora, calculamos $ Re $:
Passo 4
Agora que temos o número de Reynolds, vamos comparar com o Reynolds crítico para saber o regime de escoamento:
- Superfície superior: $ Re_{crítico} = 1,4 \times 10^8 $
- Superfície inferior: $ Re_{crítico} = 5,1 \times 10^8 $
Como nosso $ Re = 5,11 \times 10^8 $:
- Para a superfície superior: $ Re > Re_{crítico} $, então o escoamento é turbulento.
- Para a superfície inferior: $ Re \approx Re_{crítico} $, assumimos que o escoamento está próximo da transição para turbulento.
Passo 5
Agora, vamos calcular o coeficiente de atrito $ C_f $ para cada superfície usando o número de Nusselt ($ Nu_x $) fornecido e a relação entre $ Nu_x $ e $ C_f $.
Sabemos que:
E também que:
Como nosso escoamento é turbulento para a superfície superior e próximo da transição para a inferior, vamos usar a fórmula turbulenta para ambas.
Agora, relacionamos $ Nu_x $ ao coeficiente de atrito $ C_f $. Sabemos que:
Onde $ \tau $ é a tensão de cisalhamento na superfície. Mas para simplificar, podemos relacionar $ C_f $ diretamente com $ Re $, já que em escoamento turbulento, $ C_f $ é geralmente proporcional a $ Re^{-0,2} $.
Portanto, usamos:
Simplificando:
Passo 6
Vamos agora calcular o coeficiente de atrito $ C_f $ para cada superfície:
Para a superfície superior ($ Re_{x} = 5,11 \times 10^8 $):
Calculando $ (0,8)^{1/3} \approx 0,928 $ e $ (5,11 \times 108){-0,8} \approx 2,6 \times 10^{-7} $:
Para a superfície inferior ($ Re_{x} = 5,11 \times 10^8 $):
Passo 7
Agora, vamos calcular a força de arrasto $ F_D $ para cada superfície usando a fórmula:
Para a superfície superior:
Calculando:
Para a superfície inferior:
Resposta
A força de arrasto total que o ar exerce sobre a asa é aproximadamente $ 8,48 \times 10^{-3} , \mathrm{N} $.