(a) Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes?
(b) Se f(x, y) é contínua em [a, b] times[c, d] e
g(x, y)=integrala^x integralc^y f(s, t) d t d s
para a, mostre que gx y=gy x=f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Ela tem duas partes:
Parte (a): Quer saber de que maneira os teoremas de Fubini e Clairaut são parecidos.
Parte (b): Dá uma função que é contínua em um retângulo e define uma função como uma integral dupla. A pergunta é para mostrar que as derivadas mistas de , ou seja, e , são iguais a .
Vamos precisar entender o que são os teoremas de Fubini e Clairaut e como eles se relacionam, além de usar cálculo de derivadas parciais e integração dupla.

Passo 2

Parte (a): Semelhanças entre os teoremas de Fubini e Clairaut
  • Teorema de Fubini: Esse teorema fala sobre a troca da ordem de integração em integrais múltiplas. Basicamente, se uma função é contínua (ou satisfaz certas condições) em um retângulo, a ordem de integração dupla pode ser trocada sem problema.
  • Teorema de Clairaut (ou Teorema das Derivadas Parciais Mistas): Esse teorema diz que se as derivadas parciais mistas de uma função são contínuas, então a ordem de diferenciação não importa, ou seja, .
Semelhanças:
  • Ambos os teoremas tratam da possibilidade de trocar a ordem em uma operação (integração ou diferenciação) sem alterar o resultado.
  • Ambos requerem certas condições de continuidade para que a troca seja válida.

Passo 3

Parte (b): Mostrando que g(x, y) = integrala^x integralc^y f(s, t) , dt , ds
Vamos seguir os passos para provar isso:
  1. Entender a função gx(x, y) = partialpartial x ( integrala^x integralc^y f(s, t) , dt , ds ) :
    gx(x, y) = integralc^y f(x, t) , dt
    Isso significa que estamos integrando gxy(x, y) = partialpartial y ( integralc^y f(x, t) , dt ) primeiro em gxy(x, y) = f(x, y) de gy(x, y) = partialpartial y ( integrala^x integralc^y f(s, t) , dt , ds ) a gy(x, y) = integrala^x f(s, y) , ds e depois em gyx(x, y) = partialpartial x ( integrala^x f(s, y) , ds ) de gyx(x, y) = f(x, y) a gxy = gyx = f(x, y) .
  2. Calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por :
    Pela Regra Fundamental do Cálculo, a derivada em relação a da integral de a é simplesmente a função integrando avaliada em :
  3. Calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por :
    Novamente, aplicando a Regra Fundamental do Cálculo, a derivada em relação a da integral de a é a função integrando avaliada em :
  4. Calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por :
    Aqui, a derivada em relação a da integral dupla é:
  5. Calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por :
    Mais uma vez, aplicando a Regra Fundamental do Cálculo:
  6. Conclusão:
    Tanto quanto são iguais a , ou seja:

Resposta

Após realizar os cálculos, verificamos que .

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