(a) Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes?
(b)
é contínua em
para
, mostre que
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Ela tem duas partes:
Parte (a): Quer saber de que maneira os teoremas de Fubini e Clairaut são parecidos.
Parte (b): Dá uma função
que é contínua em um retângulo
e define uma função
como uma integral dupla. A pergunta é para mostrar que as derivadas mistas de
, ou seja,
e
, são iguais a
.
Vamos precisar entender o que são os teoremas de Fubini e Clairaut e como eles se relacionam, além de usar cálculo de derivadas parciais e integração dupla.
Passo 2
Parte (a): Semelhanças entre os teoremas de Fubini e Clairaut
-
Teorema de Fubini: Esse teorema fala sobre a troca da ordem de integração em integrais múltiplas. Basicamente, se uma função é contínua (ou satisfaz certas condições) em um retângulo, a ordem de integração dupla pode ser trocada sem problema.
-
Teorema de Clairaut (ou Teorema das Derivadas Parciais Mistas): Esse teorema diz que se as derivadas parciais mistas de uma função são contínuas, então a ordem de diferenciação não importa, ou seja,
.
Semelhanças:
- Ambos os teoremas tratam da possibilidade de trocar a ordem em uma operação (integração ou diferenciação) sem alterar o resultado.
- Ambos requerem certas condições de continuidade para que a troca seja válida.
Passo 3
Parte (b): Mostrando que
Vamos seguir os passos para provar isso:
-
Entender a função
: Isso significa que estamos integrandoprimeiro em de a e depois em de a . -
Calcular a derivada parcial de
em relação a , denotada por : Pela Regra Fundamental do Cálculo, a derivada em relação ada integral de a é simplesmente a função integrando avaliada em : -
Calcular a derivada parcial de
em relação a , denotada por : Novamente, aplicando a Regra Fundamental do Cálculo, a derivada em relação ada integral de a é a função integrando avaliada em : -
Calcular a derivada parcial de
em relação a , denotada por : Aqui, a derivada em relação ada integral dupla é: -
Calcular a derivada parcial de
em relação a , denotada por : Mais uma vez, aplicando a Regra Fundamental do Cálculo: -
Conclusão:
Tantoquanto são iguais a , ou seja:
Resposta
Após realizar os cálculos, verificamos que
.