Calcule a integral iterada.
integral2^4 integral-1^1(x^2+y^2) d y d x
integral0^pi / 2 integral0^pi / 2 sen x cos y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais iteradas. A gente tem duas integrais duplas aqui, uma com limites de x de 2 a 4 e de y de -1 a 1, envolvendo a função x^2 + y^2. A segunda integral tem limites de x e y de 0 a pi/2 e envolve . Para resolver tudo isso, vamos precisar usar a integração em duas etapas, integrando primeiro em relação a uma variável e depois à outra.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral2^4 integral-1^1 (x^2 + y^2) dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y. A integral de x^2 em relação a y é simplesmente x^2 cdot y, porque x^2 é tratado como uma constante. A integral de y^2 em relação a y é y^33. Então, temos:
integral-1^1 (x^2 + y^2) dy = x^2 cdot [y]-1^1 + [y^33]-1^1 = x^2(1 - (-1)) + (13 - (-1)^33) = 2x^2 + 23
Agora, integramos isso em relação a x de 2 a 4:
integral2^4 (2x^2 + 23) dx = 2 cdot [x^33]2^4 + 23 cdot [x]2^4 = 2 (643 - 83) + 23(4 - 2) = 2 cdot 563 + 43 = 1123 + 43 = 1163

Passo 3

Agora vamos para a segunda integral:

Primeiro, integramos em relação a integral0^pi / 2 integral0^pi / 2 sen x cos y , dy , dx. A integral de y em relação a cos y é . Então:
Agora, multiplicamos isso por e integramos em relação a y:

Resposta

A primeira integral é igual a 1163 e a segunda integral é igual a 1.

Exercícios relacionados