Use a Regra da Cadeia para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=e^r cos theta, r=s t, theta=raizs^2+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar a Regra da Cadeia para calcular as derivadas parciais de em relação a e . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais e a Regra da Cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções compostas usando essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
z = e^r cos theta
r = s t
theta = raizs^2 + t^2
Aqui, é uma função de e , que por sua vez são funções de e . Para encontrar e , vamos aplicar a Regra da Cadeia para derivadas parciais.

Passo 3

A Regra da Cadeia para derivadas parciais nos diz que:
partial zpartial s = partial zpartial r cdot partial rpartial s + partial zpartial theta cdot partial thetapartial s
E de maneira similar para partial zpartial t = partial zpartial r cdot partial rpartial t + partial zpartial theta cdot partial thetapartial t :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular partial zpartial r = ddr ( e^r cos theta ) = e^r cos theta e partial zpartial theta = ddtheta ( e^r cos theta ) = -e^r sin theta :

Passo 5

Agora, vamos calcular partial rpartial s = partialpartial s (s t) = t e partial thetapartial s = partialpartial s ( raizs^2 + t^2 ) = 12 (s^2 + t^2)^-1/2 cdot 2s = sraizs^2 + t^2 :

Passo 6

Substituindo tudo na expressão da Regra da Cadeia para partial zpartial s = e^r cos theta cdot t + (-e^r sin theta) cdot sraizs^2 + t^2 :
partial zpartial s = e^r ( t cos theta - s sin thetaraizs^2 + t^2 )
Simplificando:

Passo 7

De forma semelhante, calculamos partial rpartial t = partialpartial t (s t) = s . Primeiro, encontramos partial thetapartial t = partialpartial t ( raizs^2 + t^2 ) = 12 (s^2 + t^2)^-1/2 cdot 2t = traizs^2 + t^2 e :

Passo 8

Substituindo na Regra da Cadeia para partial zpartial t = e^r cos theta cdot s + (-e^r sin theta) cdot traizs^2 + t^2 :
partial zpartial t = e^r ( s cos theta - t sin thetaraizs^2 + t^2 )
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = e^r ( t cos theta - s sin thetaraizs^2 + t^2 )
partial zpartial t = e^r ( s cos theta - t sin thetaraizs^2 + t^2 )

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