Determine a derivada direcional de f no ponto dado e direção indicada pelo ângulo theta.
f(x, y) = x sen(x y) ; (2, 0) ; θ = pi/3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção determinada pelo ângulo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas nos dão o gradiente da função , que é um vetor direcionado na direção de máximo aumento da função.

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar o vetor unitário na direção do ângulo . As componentes desse vetor são dadas por:
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional de na direção de é o produto escalar do gradiente por esse vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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