Determine a derivada direcional de no ponto dado e direção indicada pelo ângulo .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção determinada pelo ângulo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas nos dão o gradiente da função , que é um vetor direcionado na direção de máximo aumento da função.
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado :
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar o vetor unitário na direção do ângulo . As componentes desse vetor são dadas por:
Então, o vetor unitário é:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional de na direção de é o produto escalar do gradiente por esse vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de é .