Determine a derivada direcional de f no ponto dado e direção indicada pelo ângulo theta.
f(x, y) = x e^(-2 y), (5, 0), theta = pi/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto e na direção que forma um ângulo de radianos. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que mede como a função muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma certa direção a partir de um ponto específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e de um vetor unitário que aponta na direção desejada.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, precisamos do vetor unitário na dire��ão do ângulo . Um vetor unitário na direção de é dado por:
Substituindo :

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de e o vetor unitário :
Vamos calcular isso no ponto :
Primeiro, encontramos o gradiente no ponto:
Agora, fazemos o produto escalar com :

Resposta

A derivada direcional é .

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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.816ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“31.069ex” height=“2.513ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 13732.5 1110.6”><title>f(x, y) = x sen(x y) ; (2, 0) ; θ = pi/3</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 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</body></html>
<html><head></head><body><div>(a) Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes?<br>
(b) <span class="math-inline ">
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Calcule o gradiente de <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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