Determine a derivada direcional de f no ponto dado e direção indicada pelo ângulo theta.
f(x, y) = x e^(-2 y), (5, 0), theta = pi/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto e na direção que forma um ângulo de radianos. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que mede como a função muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma certa direção a partir de um ponto específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e de um vetor unitário que aponta na direção desejada.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, precisamos do vetor unitário na dire��ão do ângulo . Um vetor unitário na direção de é dado por:
Substituindo :

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de e o vetor unitário :
Vamos calcular isso no ponto :
Primeiro, encontramos o gradiente no ponto:
Agora, fazemos o produto escalar com :

Resposta

A derivada direcional é .

Exercícios relacionados