Determine a derivada direcional de
no ponto dado e direção indicada pelo ângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
e na direção que forma um ângulo de
radianos. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que mede como a função muda em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função
em uma certa direção a partir de um ponto específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função
e de um vetor unitário que aponta na direção desejada.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja,
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, precisamos do vetor unitário na dire��ão do ângulo
. Um vetor unitário na direção de
é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
A derivada direcional
é o produto escalar entre o gradiente de
e o vetor unitário
:
Vamos calcular isso no ponto
:
Primeiro, encontramos o gradiente no ponto:
Agora, fazemos o produto escalar com
:
Resposta
A derivada direcional é
.