Assinale V ou F para as afirmativas abaixo, justificando suas respostas: A equação diferencial (t^2 + 1) dy/dt - t*y = y é linear e separável.出F

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por e precisamos determinar se ela é linear e separável. Para isso, vamos revisar rapidamente o que significa cada termo:
  • Equação Linear: É uma equação diferencial onde o termo e sua derivada aparecem de forma linear, ou seja, sem serem multiplicados entre si ou elevados a alguma potência.
  • Equação Separável: É uma equação que pode ser escrita de forma que todos os termos envolvendo fiquem de um lado da equação e todos os termos envolvendo fiquem do outro.
Vamos analisar cada propriedade passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é linear. Para isso, precisamos colocá-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Começamos dividindo toda a equação por para isolar :
Agora, podemos ver que a equação está na forma padrão, onde:
Como a equação está na forma , ela é linear.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é separável. Para ser separável, devemos conseguir escrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e todos os termos com fiquem do outro lado.
A equação original é:
Tentando separar os termos:
Aqui, vemos que está multiplicando uma função de , o que significa que não conseguimos separar e em lados opostos da equação de forma simples. Portanto, a equação não é separável.

Resposta

Falso. A equação é linear, mas não é separável.

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