Calcule a integral tripla
em que
e
é o tetraedro sólido com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla da função
sobre um tetraedro
definido pelos vértices
,
,
e
. Aqui, usamos conceitos de cálculo integral em múltiplas variáveis, especificamente integrais triplas, e também vamos precisar entender como determinar os limites de integração para um sólido geométrico como um tetraedro.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o tetraedro
com os vértices dados. Um tetraedro é um sólido com quatro faces triangulares. Os vértices são os pontos
,
,
e
. Para configurar a integral tripla, precisamos encontrar os limites de integração para
,
e
que descrevem todo o volume desse tetraedro.
Passo 3
Vamos determinar os limites para
,
e
. Observando os vértices, notamos que
varia de 0 a 1,
de 0 a 1, e
de -2 a 2. Porém, esses não são os limites exatos, já que o tetraedro não preenche todo esse cubo. Precisamos encontrar as relações entre
,
e
que definem as faces do tetraedro.
Passo 4
Vamos analisar as faces que limitam
em função de
e
. Olhando para os vértices, quando
, temos a base no plano
formada pelos pontos
,
e
. Conforme
varia de -2 a 2, precisamos relacionar
com
e
.
Passo 5
Para determinar as relações entre
,
e
, podemos observar que as arestas do tetraedro conectam os vértices. Por exemplo, do ponto
para
, a relação linear entre
e
é
. Similarmente, do ponto
para
, temos
. Já do ponto
para
,
, e para
,
.
Passo 6
Com essas relações, podemos estabelecer os limites de integração:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de 0 a . - Para cada par
, varia de a .
Passo 7
Agora, configuramos a integral tripla:
Passo 8
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Passo 10
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
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é linear e separável.出F
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III) A equação diferencial
Calcule o volume do sólido
limitado pelas superfícies
,
Calcule e justifique.