Calcule a integral tripla integral triplaT f(x, y, z) d V em que f(x, y, z)=27 e T é o tetraedro sólido com vértices (0,0,-2),(1,0,0),(0,1,0) e (0,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla da função sobre um tetraedro definido pelos vértices , , e . Aqui, usamos conceitos de cálculo integral em múltiplas variáveis, especificamente integrais triplas, e também vamos precisar entender como determinar os limites de integração para um sólido geométrico como um tetraedro.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro com os vértices dados. Um tetraedro é um sólido com quatro faces triangulares. Os vértices são os pontos , , e . Para configurar a integral tripla, precisamos encontrar os limites de integração para , e que descrevem todo o volume desse tetraedro.

Passo 3

Vamos determinar os limites para , e . Observando os vértices, notamos que varia de 0 a 1, de 0 a 1, e de -2 a 2. Porém, esses não são os limites exatos, já que o tetraedro não preenche todo esse cubo. Precisamos encontrar as relações entre , e que definem as faces do tetraedro.

Passo 4

Vamos analisar as faces que limitam em função de e . Olhando para os vértices, quando , temos a base no plano formada pelos pontos , e . Conforme varia de -2 a 2, precisamos relacionar com e .

Passo 5

Para determinar as relações entre , e , podemos observar que as arestas do tetraedro conectam os vértices. Por exemplo, do ponto para , a relação linear entre e é . Similarmente, do ponto para , temos . Já do ponto para , , e para , .

Passo 6

Com essas relações, podemos estabelecer os limites de integração:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a .
  • Para cada par , varia de a .

Passo 7

Agora, configuramos a integral tripla:
integral triplaT 27 , dV = integral0^1 integral0^1 - x integral2x - 2^-2x + 2 27 , dz , dy , dx

Passo 8

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral2x - 2^-2x + 2 27 , dz = 27 [ z ]2x - 2^-2x + 2 = 27 ( (-2x + 2) - (2x - 2) ) = 27 (-4x + 4) = 108(1 - x) :

Passo 9

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^1 - x 108(1 - x) , dy = 108(1 - x) [ y ]0^1 - x = 108(1 - x)(1 - x) = 108(1 - x)^2 :

Passo 10

Por fim, integramos em relação a integral0^1 108(1 - x)^2 , dx = 108 integral0^1 (1 - 2x + x^2) , dx = 108 [ x - x^2 + x^33 ]0^1 = 108 (1 - 1 + 13) = 108 times 13 = 36 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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