Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido, chamado de , que está delimitado pelas superfícies , e . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quais são as fronteiras do nosso sólido. Temos três superfícies que definem :
  1. : Essa é uma superfície inclinada que depende do valor de .
  2. : Essa equação representa uma parábola que abre para cima no plano .
  3. : Essa é simplesmente o plano , onde é zero.
Para encontrar o volume, vamos projetar o sólido no plano e depois integrar sobre essa região.

Passo 3

Vamos primeiro determinar a região de integração no plano . Para isso, encontramos a interseção das superfícies e :
Então, a parábola intersecta o eixo em :
Portanto, a região no plano é delimitada por variando de a e variando de a .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. O volume pode ser encontrado integrando a diferença entre e sobre a região :
Aqui, representa um elemento de área no plano , e é a função que estamos integrando.

Passo 5

Vamos escrever a integral dupla com os limites que encontramos:
Primeiro, integramos em relação a e depois em relação a .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Passo 7

Vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, calculamos a integral termo a termo:

Passo 9

Substituindo esses resultados na integral do volume:
Para somar as frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Assinale V ou F para as afirmativas abaixo, justificando suas respostas: A equação diferencial é linear e separável.出F
Calcule e justifique.
NotasDeAulas [2024] Dada a equação paramétrica da reta

Marque Verdadeiro (V) ou Falso (F):
( ) Para o ponto é ;
( ) O ponto pertence a reta
( ) a reta intersepta a reta ;
( ) a inclinação da reta é dada pela ;
( ) as equações paramétricas apesentadas não representa uma reta.