Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido, chamado de , que está delimitado pelas superfícies , e . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quais são as fronteiras do nosso sólido. Temos três superfícies que definem :
: Essa é uma superfície inclinada que depende do valor de .
: Essa equação representa uma parábola que abre para cima no plano .
: Essa é simplesmente o plano , onde é zero.
Para encontrar o volume, vamos projetar o sólido no plano e depois integrar sobre essa região.
Passo 3
Vamos primeiro determinar a região de integração no plano . Para isso, encontramos a interseção das superfícies e :
Então, a parábola intersecta o eixo em :
Portanto, a região no plano é delimitada por variando de a e variando de a .
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. O volume pode ser encontrado integrando a diferença entre e sobre a região :
Aqui, representa um elemento de área no plano , e é a função que estamos integrando.
Passo 5
Vamos escrever a integral dupla com os limites que encontramos:
Primeiro, integramos em relação a e depois em relação a .
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 7
Vamos expandir :
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, calculamos a integral termo a termo:
Passo 9
Substituindo esses resultados na integral do volume:
Para somar as frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto: