Calcule o volume do sólido
limitado pelas superfícies
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido, chamado de
, que está delimitado pelas superfícies
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quais são as fronteiras do nosso sólido. Temos três superfícies que definem
:
-
: Essa é uma superfície inclinada que depende do valor de . -
: Essa equação representa uma parábola que abre para cima no plano . -
: Essa é simplesmente o plano , onde é zero.
Para encontrar o volume, vamos projetar o sólido no plano
e depois integrar sobre essa região.
Passo 3
Vamos primeiro determinar a região de integração no plano
. Para isso, encontramos a interseção das superfícies
e
:
Então, a parábola
intersecta o eixo
em
:
Portanto, a região
no plano
é delimitada por
variando de
a
e
variando de
a
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. O volume
pode ser encontrado integrando a diferença entre
e
sobre a região
:
Aqui,
representa um elemento de área no plano
, e
é a função que estamos integrando.
Passo 5
Vamos escrever a integral dupla com os limites que encontramos:
Primeiro, integramos em relação a
e depois em relação a
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 7
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, calculamos a integral termo a termo:
Passo 9
Substituindo esses resultados na integral do volume:
Para somar as frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.