Assinale a alternativa que apresenta corretamente a propriedade associativa da multiplicação:
(a + b) . c = a + (b . c), ∀ a, b, c ∈ straight natural numbers
(a . b) + c = a . (b . c), ∀ a, b, c ∈ straight natural numbers
(a . b) + c = a . (b + c), ∀ a, b, c ∈ straight natural numbers
(a . b) . c = a . (b . c), ∀ a, b, c ∈ straight natural numbers
(a + b) + c = a . (b + c), ∀ a, b, c ∈ straight natural numbers

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar qual das alternativas mostra corretamente a propriedade associativa da multiplicação. A propriedade associativa é um conceito de álgebra que fala sobre como os números se agrupam quando estão sendo multiplicados. Para resolver isso, vamos revisar o que é a propriedade associativa e verificar cada opção para ver qual se encaixa direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a propriedade associativa da multiplicação. Basicamente, ela diz que quando multiplicamos três números, a forma como agrupamos esses números não altera o resultado. Em termos matemáticos, isso é escrito como:
(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)
Isso significa que podemos primeiro multiplicar a e b, e depois multiplicar o resultado por c, ou multiplicar b e c primeiro e depois multiplicar por a, e o resultado será o mesmo.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada alternativa para ver qual delas representa essa propriedade:
  1. (a + b) . c = a + (b . c)
    Aqui, temos uma mistura de adição e multiplicação, o que não corresponde à propriedade associativa da multiplicação.
  2. (a . b) + c = a . (b . c)
    Nesta, a esquerda está multiplicando a e b e depois somando c, enquanto a direita está multiplicando a por (b multiplicado por c). Isso não mantém apenas a multiplicação, então não é a propriedade associativa.
  3. (a . b) + c = a . (b + c)
    Similar à anterior, há uma mistura de adição e multiplicação, o que também não é a propriedade associativa da multiplicação.
  4. (a . b) . c = a . (b . c)
    Aqui, temos apenas multiplicações e a forma de agrupamento é a mesma que definimos para a propriedade associativa. Isso corresponde exatamente à propriedade que estamos buscando.
  5. (a + b) + c = a . (b + c)
    Novamente, há mistura de adição e multiplicação, o que não representa a propriedade associativa da multiplicação.

Resposta

A alternativa correta é:
(a . b) . c = a . (b . c), ∀ a, b, c ∈ \mathbb{N}

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