Assinale a alternativa que contém o domínio máximo de arcsen (x^2 - 2x + 1) / (4x + 1).
(a) [-4, -2];
(b) [1, 3];
© [-1, 1];
(d) [0,2];
(e) [0, 6].

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para encontrar o domínio máximo da função arcsen de uma fração quadrática sobre uma expressão linear. Ou seja, precisamos descobrir para quais valores de a expressão dentro do arcsen está definida e dentro do intervalo válido do arcsen. Para isso, vamos trabalhar com alguns conceitos de funções e suas restrições.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a função arcsen só está definida para valores entre -1 e 1. Ou seja, o que está dentro dos parênteses deve ser maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1:

Passo 3

Além disso, precisamos garantir que o denominador da fração não seja zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, vamos resolver:
Isso significa que está fora do domínio.

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade:
Isso nos dá duas partes para resolver:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

Parte 1:
Multiplicamos ambos os lados por , mas precisamos considerar o sinal de :
  • Se , a desigualdade mantém o sinal.
  • Se , a desigualdade inverte o sinal.
Isso nos leva a duas subcasos, que após resolvermos, nos darão intervalos de que satisfazem a primeira parte da desigualdade.

Passo 6

Parte 2:
De maneira similar, multiplicamos ambos os lados por , considerando novamente o sinal de :
  • Se , a desigualdade mantém o sinal.
  • Se , a desigualdade inverte o sinal.
Isso também resultará em dois subcasos a serem resolvidos para encontrar os intervalos de que satisfazem a segunda parte da desigualdade.

Passo 7

Após resolver ambos os casos e suas respectivas subsoluções, devemos encontrar a interseção dos intervalos que satisfazem ambas as partes da desigualdade original e, claro, considerar que .

Resposta

Após resolver todas as desigualdades, o domínio máximo da função arcsen é o intervalo:
Portanto, a alternativa correta é a © .

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