Assinale a alternativa que contém o domínio máximo de arcsen
.
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
;
(e)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para encontrar o domínio máximo da função arcsen de uma fração quadrática sobre uma expressão linear. Ou seja, precisamos descobrir para quais valores de
a expressão dentro do arcsen está definida e dentro do intervalo válido do arcsen. Para isso, vamos trabalhar com alguns conceitos de funções e suas restrições.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a função arcsen só está definida para valores entre -1 e 1. Ou seja, o que está dentro dos parênteses deve ser maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1:
Passo 3
Além disso, precisamos garantir que o denominador da fração
não seja zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, vamos resolver:
Isso significa que
está fora do domínio.
Passo 4
Agora, vamos resolver a desigualdade:
Isso nos dá duas partes para resolver:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 5
Parte 1:
Multiplicamos ambos os lados por
, mas precisamos considerar o sinal de
:
- Se
, a desigualdade mantém o sinal. - Se
, a desigualdade inverte o sinal.
Isso nos leva a duas subcasos, que após resolvermos, nos darão intervalos de
que satisfazem a primeira parte da desigualdade.
Passo 6
Parte 2:
De maneira similar, multiplicamos ambos os lados por
, considerando novamente o sinal de
:
- Se
, a desigualdade mantém o sinal. - Se
, a desigualdade inverte o sinal.
Isso também resultará em dois subcasos a serem resolvidos para encontrar os intervalos de
que satisfazem a segunda parte da desigualdade.
Passo 7
Após resolver ambos os casos e suas respectivas subsoluções, devemos encontrar a interseção dos intervalos que satisfazem ambas as partes da desigualdade original e, claro, considerar que
.
Resposta
Após resolver todas as desigualdades, o domínio máximo da função arcsen
é o intervalo:
Portanto, a alternativa correta é a ©
.
Exercícios relacionados
(l)
.
Seja
e considere a função
dada por:
A função
é contínla em 1 se, e somente se,
é igual a:
(a) -1 ;
(b) 3 ;
© 2 ;
(d) 0 ;
(e) -2 .
(a) -1 ;
(b) 3 ;
© 2 ;
(d) 0 ;
(e) -2 .
Considere a função
dada por
. Assinale a alternativa que contém uma afirmação falsa sobre
.
(a) é contímua em 2;
(b) A imagem de é igual a
;
© é contínua em 0 ;
(d) é descontínıa;
(e) é crescente.
(a)
(b) A imagem de
©
(d)
(e)
(x)
.