Considere a função
dada por
. Assinale a alternativa que contém uma afirmação falsa sobre
.
(a)
é contímua em 2;
(b) A imagem de
é igual a
;
©
é contínua em 0 ;
(d)
é descontínıa;
(e)
é crescente.
(a)
(b) A imagem de
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A função que estamos analisando é
, definida para todos os números reais menos 1 (
). O objetivo é identificar qual das alternativas apresentadas faz uma afirmação falsa sobre essa função. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta em diferentes valores de
e aplicar conceitos de continuidade e monotonicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. O valor absoluto
depende se
é positivo ou negativo:
- Se
: é positivo, então . Portanto, . - Se
: é negativo, então . Assim, .
Então, a função
assume apenas os valores 1 e -1, dependendo de
ser maior ou menor que 1.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada alternativa:
(a)
é contínua em 2:
Para
, que é maior que 1,
. Como a função é constante nessa região (sempre 1 para
), ela é contínua em 2.
(b) A imagem de
é igual a
:
Conforme vimos,
só pode ser -1 ou 1, então a imagem de
realmente é
.
©
é contínua em 0:
Para
, que é menor que 1,
. Novamente, como a função é constante nessa região (sempre -1 para
), ela é contínua em 0.
(d)
é descontínua:
Aqui precisamos olhar para todo o domínio da função. A função
tem uma descontinuidade em
porque não está definida lá. Contudo, excetuando esse ponto, a função é contínua. Então, considerando o domínio dado (
),
é contínua em todo esse conjunto.
(e)
é crescente:
Uma função é crescente se, conforme
aumenta,
também aumenta. No nosso caso:
- Para
, . - Para
, .
À medida que
passa de menos que 1 para mais que 1,
“salta” de -1 para 1, ou seja, aumenta. Portanto, a função é crescente no seu domínio.
Resposta
A alternativa falsa é a (d)
é descontínua.
Exercícios relacionados
Assinale a alternativa que contém o domínio máximo de arcsen
.
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(l)
.
(x)
.
(h)
.