Considere a função f: R \ {1} -> R dada por f(x) = |x - 1| / (x - 1). Assinale a alternativa que contém uma afirmação falsa sobre f.
(a) f é contímua em 2;
(b) A imagem de f é igual a {-1,1};
© f é contínua em 0 ;
(d) f é descontínıa;
(e) f é crescente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A função que estamos analisando é , definida para todos os números reais menos 1 ( ). O objetivo é identificar qual das alternativas apresentadas faz uma afirmação falsa sobre essa função. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta em diferentes valores de e aplicar conceitos de continuidade e monotonicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . O valor absoluto depende se é positivo ou negativo:
  • Se : é positivo, então . Portanto, .
  • Se : é negativo, então . Assim, .
Então, a função assume apenas os valores 1 e -1, dependendo de ser maior ou menor que 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada alternativa:
(a) é contínua em 2:
Para , que é maior que 1, . Como a função é constante nessa região (sempre 1 para ), ela é contínua em 2.
(b) A imagem de é igual a :
Conforme vimos, só pode ser -1 ou 1, então a imagem de realmente é .
© é contínua em 0:
Para , que é menor que 1, . Novamente, como a função é constante nessa região (sempre -1 para ), ela é contínua em 0.
(d) é descontínua:
Aqui precisamos olhar para todo o domínio da função. A função tem uma descontinuidade em porque não está definida lá. Contudo, excetuando esse ponto, a função é contínua. Então, considerando o domínio dado ( ), é contínua em todo esse conjunto.
(e) é crescente:
Uma função é crescente se, conforme aumenta, também aumenta. No nosso caso:
  • Para , .
  • Para , .
À medida que passa de menos que 1 para mais que 1, “salta” de -1 para 1, ou seja, aumenta. Portanto, a função é crescente no seu domínio.

Resposta

A alternativa falsa é a (d) é descontínua.

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Assinale a alternativa que contém o domínio máximo de arcsen (x^2 - 2x + 1) / (4x + 1).
(a) [-4, -2];
(b) [1, 3];
© [-1, 1];
(d) [0,2];
(e) [0, 6].
(l) lim x 0^- 11+e^1x.
(x) lim x -infty(x+32 x+5)^x^2.
(h) lim x -2^+ xx+2.