(x) lim x -infty(x+32 x+5)^x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite passo a passo! O enunciado pede para calcular:
limx to -infty ( x + 32x + 5 )^x^2
Aqui, estamos lidando com limites no infinito e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando vai para menos infinito e como lidar com potências que envolvem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
x + 32x + 5
Quando x + 32x + 5 approx x2x = 12 vai para menos infinito, os termos de menor grau (os números 3 e 5) se tornam insignificantes comparados aos termos que envolvem . Então, podemos aproximar:
Então, à medida que vai para menos infinito, a fração se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos reescrever o limite usando essa aproximação:
limx to -infty ( 12 )^x^2
Aqui, temos elevado a . Como está indo para menos infinito, vai para mais infinito, porque o quadrado de um número negativo é positivo.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da expressão limn to infty ( 12 )^n = 0 quando limx to -infty ( 12 )^x^2 = 0 vai para mais infinito:
Sabemos que é um número entre 0 e 1. Quando um número entre 0 e 1 é elevado a uma potência que vai para mais infinito, o resultado tende a zero. Isso porque cada multiplicação adicional faz o número ficar menor e menor.
Matematicamente:
Aplicando isso ao nosso caso:

Resposta

O limite é igual a 0.

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