Seja a in R e considere a função f: R -> R dada por:
f(x) = { x² + 1, se x < 1; a x + 3, se x ≥ 1 }
A função f é contínla em 1 se, e somente se, a é igual a:
(a) -1 ;
(b) 3 ;
© 2 ;
(d) 0 ;
(e) -2 .

Passo 1

Vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre continuidade de uma função. Precisamos entender quando a função é contínua em . Para isso, vamos usar conceitos de limites e a definição de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição de continuidade. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

A função dada é:
Queremos que seja contínua em . Vamos verificar os três pontos da definição.

Passo 4

Primeiro, calculamos . Como está na segunda parte da função:

Passo 5

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):

Passo 6

Em seguida, calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 7

Para que seja contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais a :
Resolvendo para :

Resposta

A função é contínua em 1 se, e somente se, for igual a -1.

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(a) [-4, -2];
(b) [1, 3];
© [-1, 1];
(d) [0,2];
(e) [0, 6].