Assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente à curva gamma(t) = (cos^2(t), e^(-3t), raiz(2t^2 + 1) + t) no ponto t0 = 0.
a. X(s) = (1, 1, 1+s), s in R
b. X(s) = (0, 0, 1 + s), s em R
c. X(s) = (1, 0, 0), s pertence a R
d. X(s) = (1, 0, 1 - s), s em R
e. X(s) = (1, 1 - 3s, 1 + s), s pertence a R

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente à curva gamma(t) = (cos^2(t), e^(-3t), raiz(2t^2 + 1) + t) no ponto onde t0 = 0. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivada de uma curva paramétrica, que nos dá o vetor tangente à curva nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto na curva correspondente a t0 = 0. Para isso, substituímos t = 0 na função gamma(t):
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da curva gamma(t) em relação a t, que nos dará o vetor tangente. A derivada de gamma(t) é:
Calculando cada componente:
Avaliado em t = 0:
Então, o vetor tangente no ponto t0 = 0 é .

Passo 4

A equação da reta tangente pode ser escrita como:
Isso significa:

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas:
a. X(s) = (1, 1, 1+s), s in R
b. X(s) = (0, 0, 1 + s), s em R
c. X(s) = (1, 0, 0), s pertence a R
d. X(s) = (1, 0, 1 - s), s em R
e. X(s) = (1, 1 - 3s, 1 + s), s pertence a R
A equação que encontramos corresponde à alternativa e.

Resposta

A alternativa correta é a e.

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