Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(h) sumn=1^infty n^22 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n);

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série abaixo converge ou diverge:
sumn=1^infty n^22 cdot 4 cdot 6 cdots(2n)
Esse problema está relacionado ao estudo de séries infinitas e convergência. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar o denominador da expressão e aplicar um teste de convergência adequado. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da nossa fração. Observamos que:
2 cdot 4 cdot 6 cdots (2n) = 2^n cdot n!
Explicação: Cada termo no denominador é múltiplo de 2. Então, podemos fatorar o 2 de cada termo:
Multiplicando todos esses, temos .

Passo 3

Agora, nossa série fica:
sumn=1^infty n^22^n cdot n!
Explicação: Substituímos o denominador original pela forma simplificada .

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão (Ratio Test) para verificar a convergência da série. O teste da razão nos diz para calcular:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calculando an+1 = (n+1)^22^n+1 cdot (n+1)! :
an+1an = (n+1)^22^n+1 cdot (n+1)! cdot 2^n cdot n!n^2 = (n+1)^22 cdot n^2 cdot (n+1)
Agora, vamos formar a razão an+1an = (n+1)2n^2 :
Simplificando:

Passo 6

Agora, calculamos o limite L = limn to infty n+12n^2 = limn to infty 1 + 1n2n = 0 + 02 = 0 :
Explicação: Conforme cresce, tende a 0, então o numerador tende a 1 e o denominador a infinito, fazendo com que toda a fração tenda a 0.

Passo 7

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^22 cdot 4 cdot 6 cdots(2n) converge.

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