Encontre partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0) se f(x, y)=cos (e^2 x+3 y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia. A função exterior é o cosseno e a função interior é .

Passo 3

Derivando partial fpartial x = -sin(e^2x + 3y) cdot partialpartial x(e^2x + 3y) em relação a :

Passo 4

Agora, vamos derivar partialpartial x(e^2x + 3y) = e^2x + 3y cdot 2 em relação a :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial fpartial x = -sin(e^2x + 3y) cdot 2e^2x + 3y

Passo 6

Agora, vamos avaliar partial fpartial x(0,0) = -sin(e^0) cdot 2e^0 = -sin(1) cdot 2 = -2sin(1) no ponto :

Passo 7

Vamos repetir o processo para partial fpartial y = -sin(e^2x + 3y) cdot partialpartial y(e^2x + 3y) . Novamente, usamos a regra da cadeia.

Passo 8

Derivando partialpartial y(e^2x + 3y) = e^2x + 3y cdot 3 em relação a :

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial fpartial y = -sin(e^2x + 3y) cdot 3e^2x + 3y

Passo 10

Agora, vamos avaliar partial fpartial y(0,0) = -sin(e^0) cdot 3e^0 = -sin(1) cdot 3 = -3sin(1) no ponto :

Resposta

Portanto, as derivadas parciais no ponto partial fpartial x(0,0) = -2sin(1) são:
partial fpartial y(0,0) = -3sin(1)

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