Sendo z=f(x, y) definida por x^3 y^2+x^3+z^3-z=3, determine, através da derivação implícita, partial zpartial x e partial zpartial y no ponto (x, y, z)=(1, raiz2, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita! A gente tem a função definida pela equação . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais e no ponto . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivação implícita e como aplicar as regras de derivação em equações que envolvem várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivação implícita na equação dada. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação em relação a ddx(x^3 y^2) + ddx(x^3) + ddx(z^3) - ddx(z) = ddx(3) e depois em relação a , tratando como uma função de e .
Começando com a derivada em relação a :

Passo 3

Vamos derivar cada termo:
  1. Para ddx(x^3 y^2) = 3x^2 y^2 , como ddx(x^3) = 3x^2 é considerada constante em relação a ddx(z^3) = 3z^2 partial zpartial x :
ddx(z) = partial zpartial x
  1. Para ddx(3) = 0 :
  1. Para , usando a regra da cadeia:
  1. Para :
E a derivada de uma constante é zero:

Passo 4

Substituindo todas as derivadas na equação original:
3x^2 y^2 + 3x^2 + 3z^2 partial zpartial x - partial zpartial x = 0
Agora, vamos isolar (3z^2 - 1) partial zpartial x = -3x^2(y^2 + 1) :
partial zpartial x = -3x^2(y^2 + 1)3z^2 - 1
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular ddy(x^3 y^2) + ddy(x^3) + ddy(z^3) - ddy(z) = ddy(3) derivando a equação original em relação a :

Passo 6

Derivando cada termo:
  1. Para ddy(x^3 y^2) = 2x^3 y :
ddy(x^3) = 0
  1. Para ddy(z^3) = 3z^2 partial zpartial y , que é constante em relação a ddy(z) = partial zpartial y :
ddy(3) = 0
  1. Para :
  1. Para :
E a derivada de uma constante é zero:

Passo 7

Substituindo na equação:
2x^3 y + 3z^2 partial zpartial y - partial zpartial y = 0
Isolando (3z^2 - 1) partial zpartial y = -2x^3 y :
partial zpartial y = -2x^3 y3z^2 - 1
Então:

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores do ponto partial zpartial x = -3(1)^2((raiz2)^2 + 1)3(1)^2 - 1 = -3(1)(2 + 1)3 - 1 = -92 nas expressões que encontramos para partial zpartial y = -2(1)^3 (raiz2)3(1)^2 - 1 = -2 cdot 1 cdot raiz23 - 1 = -2raiz22 = -raiz2 e .
Para :
Para :

Resposta

No ponto partial zpartial x = -92 e partial zpartial y = -raiz2 , as derivadas parciais são:

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