Sendo
definida por
, determine, através da derivação implícita,
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita! A gente tem a função
definida pela equação
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais
e
no ponto
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivação implícita e como aplicar as regras de derivação em equações que envolvem várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a derivação implícita na equação dada. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação em relação a
e depois em relação a
, tratando
como uma função de
e
.
Começando com a derivada em relação a
:
Passo 3
Vamos derivar cada termo:
- Para
, como é considerada constante em relação a :
- Para
:
- Para
, usando a regra da cadeia:
- Para
:
E a derivada de uma constante é zero:
Passo 4
Substituindo todas as derivadas na equação original:
Agora, vamos isolar
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
derivando a equação original em relação a
:
Passo 6
Derivando cada termo:
- Para
:
- Para
, que é constante em relação a :
- Para
:
- Para
:
E a derivada de uma constante é zero:
Passo 7
Substituindo na equação:
Isolando
:
Então:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores do ponto
nas expressões que encontramos para
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
No ponto
, as derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Seja a função definida por
d) Calcule o limite de quando
tende a ( 0,0 ) ao longo da parábola
d) Calcule o limite de
Encontre
e
se
.
Encontrar, se existirem, os pontos de máximo locais, mínimo locais e pontos de sela da função
.
Obs.: Se os referidos pontos não existirem, escreva
Obs.: Se os referidos pontos não existirem, escreva