Sendo definida por , determine, através da derivação implícita, no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita! A gente tem a função definida pela equação . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais e no ponto . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivação implícita e como aplicar as regras de derivação em equações que envolvem várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivação implícita na equação dada. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação em relação a e depois em relação a , tratando como uma função de e .
Começando com a derivada em relação a :

Passo 3

Vamos derivar cada termo:
  1. Para , como é considerada constante em relação a :
  1. Para :
  1. Para , usando a regra da cadeia:
  1. Para :
E a derivada de uma constante é zero:

Passo 4

Substituindo todas as derivadas na equação original:
Agora, vamos isolar :
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular derivando a equação original em relação a :

Passo 6

Derivando cada termo:
  1. Para :
  1. Para , que é constante em relação a :
  1. Para :
  1. Para :
E a derivada de uma constante é zero:

Passo 7

Substituindo na equação:
Isolando :
Então:

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores do ponto nas expressões que encontramos para e .
Para :
Para :

Resposta

No ponto , as derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Seja a função definida por
d) Calcule o limite de quando tende a ( 0,0 ) ao longo da parábola
Encontre e se .
Encontrar, se existirem, os pontos de máximo locais, mínimo locais e pontos de sela da função .
Obs.: Se os referidos pontos não existirem, escreva