Assinale a alternativa que contém a integral que calcula a massa da curva , com função densidade linear em .
a.
Massa .
b
Massa =integrala^b de.
c.
Massa =integrala^b de.
d.
Massa =integrala^b de.
e
Massa =integrala^b f(gamma(t)) cdot|gamma^prime(t)| d t
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a expressão correta para calcular a massa de uma curva no espaço tridimensional. Para isso, usamos cálculo de integrais de linha, que nos ajuda a somar infinitesimais ao longo da curva. Vamos precisar da parametrização da curva gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)) e da função densidade linear de.
Passo 2
A massa de uma curva pode ser calculada integrando a densidade ao longo de toda a curva. Matemáticamente, isso é expresso por:
Massa = integral de
Aqui, ds representa um pequeno trecho de comprimento da curva.
Passo 3
Como a curva está parametrizada por t, precisamos expressar ds em termos de t. A derivada da curva gamma(t) em relação a t é:
gamma'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt )
O comprimento infinitesimal ds é dado pelo módulo dessa derivada:
Isso significa que para cada valor de t entre a e b, multiplicamos a densidade no ponto gamma(t) pelo comprimento infinitesimal da curva nesse ponto e somamos tudo.
Passo 5
Agora, vamos comparar essa expressão com as alternativas fornecidas no exercício:
A alternativa b corresponde exatamente a essa expressão: