Assinale a alternativa que contém a integral que calcula a massa da curva gamma:[a, b] R^3, gamma(t)=(x(t), y(t), z(t)), com de função densidade linear em gamma.
a.
Massa =integrala^b de.
b
Massa =integrala^b de.
c.
Massa =integrala^b de.
d.
Massa =integrala^b de.
e
Massa =integrala^b f(gamma(t)) cdot|gamma^prime(t)| d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a expressão correta para calcular a massa de uma curva no espaço tridimensional. Para isso, usamos cálculo de integrais de linha, que nos ajuda a somar infinitesimais ao longo da curva. Vamos precisar da parametrização da curva gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)) e da função densidade linear de.

Passo 2

A massa de uma curva pode ser calculada integrando a densidade ao longo de toda a curva. Matemáticamente, isso é expresso por:
Massa = integral de
Aqui, ds representa um pequeno trecho de comprimento da curva.

Passo 3

Como a curva está parametrizada por t, precisamos expressar ds em termos de t. A derivada da curva gamma(t) em relação a t é:
gamma'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt )
O comprimento infinitesimal ds é dado pelo módulo dessa derivada:
ds = | gamma'(t) | dt = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 + ( dzdt )^2 , dt

Passo 4

Substituindo ds na expressão da massa, temos:
Massa = integrala^b de
Isso significa que para cada valor de t entre a e b, multiplicamos a densidade no ponto gamma(t) pelo comprimento infinitesimal da curva nesse ponto e somamos tudo.

Passo 5

Agora, vamos comparar essa expressão com as alternativas fornecidas no exercício:
  • A alternativa b corresponde exatamente a essa expressão:
Massa = integrala^b de

Resposta

A alternativa b está correta.

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