Assinale a alternativa que contém a integral que calcula a massa da curva , com função densidade linear em .
a.
Massa .
b
Massa .
c.
Massa .
d.
Massa .
e
Massa
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a expressão correta para calcular a massa de uma curva no espaço tridimensional. Para isso, usamos cálculo de integrais de linha, que nos ajuda a somar infinitesimais ao longo da curva. Vamos precisar da parametrização da curva e da função densidade linear .
Passo 2
A massa de uma curva pode ser calculada integrando a densidade ao longo de toda a curva. Matemáticamente, isso é expresso por:
Aqui, representa um pequeno trecho de comprimento da curva.
Passo 3
Como a curva está parametrizada por , precisamos expressar em termos de . A derivada da curva em relação a é:
O comprimento infinitesimal é dado pelo módulo dessa derivada:
Passo 4
Substituindo na expressão da massa, temos:
Isso significa que para cada valor de entre e , multiplicamos a densidade no ponto pelo comprimento infinitesimal da curva nesse ponto e somamos tudo.
Passo 5
Agora, vamos comparar essa expressão com as alternativas fornecidas no exercício:
A alternativa b corresponde exatamente a essa expressão: