Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado lateralmente pelo cilindro
e pelos planos
e
, abaixo pelo paraboloide
e acima pelo semicone
.
Escolha uma opção:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante. Isso significa que estamos trabalhando apenas com coordenadas positivas de
,
e
. O sólido é limitado lateralmente por um cilindro definido por
, pelos planos
e
, abaixo pelo paraboloide
e acima pelo semicone
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração de volumes com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas, temos
,
e
. O cilindro
se transforma em
, então
varia de 0 a 2. O plano
corresponde a
, e o plano
se transforma em
. Assim,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para
. O sólido está abaixo pelo paraboloide
e acima pelo semicone
. Então, para cada ponto
,
varia de
a
.
Passo 4
O volume em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:
Aqui, o fator
vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, a integral em
:
Passo 6
Agora, integramos com relação a
:
Passo 7
Por fim, integramos com relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
.