Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado lateralmente pelo cilindro e pelos planos e , abaixo pelo paraboloide e acima pelo semicone .
Escolha uma opção:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante. Isso significa que estamos trabalhando apenas com coordenadas positivas de , e . O sólido é limitado lateralmente por um cilindro definido por , pelos planos e , abaixo pelo paraboloide e acima pelo semicone . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração de volumes com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas, temos , e . O cilindro se transforma em , então varia de 0 a 2. O plano corresponde a , e o plano se transforma em . Assim, varia de a .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para . O sólido está abaixo pelo paraboloide e acima pelo semicone . Então, para cada ponto , varia de a .

Passo 4

O volume em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:
Aqui, o fator vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, a integral em :

Passo 6

Agora, integramos com relação a :

Passo 7

Por fim, integramos com relação a :

Resposta

O volume do sólido é .

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Assinale a alternativa que contém a integral que calcula a massa da curva , com função densidade linear em .
a.
Massa .
b
Massa .
c.
Massa .
d.
Massa .
e
Massa
Encontrar, se existirem, os pontos de máximo locais, mínimo locais e pontos de sela da função .
Obs.: Se os referidos pontos não existirem, escreva
As integrais de linha são integrais semelhantes a uma integral de uma função de variável real. Contudo ao contrário de integrarmos sobre um intervalo , integramos sobre uma curva . Elas foram criadas para resolver os problemas que envolviam o escoamento de líquidos, forças, eletricidade e magnetismo. Seja uma hélice circular dada pelas equações , em que , o valor da integral de linha dada por:
Calcule
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