Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado lateralmente pelo cilindro e pelos planos e , abaixo pelo paraboloide e acima pelo semicone .
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante. Isso significa que estamos trabalhando apenas com coordenadas positivas de , e . O sólido é limitado lateralmente por um cilindro definido por , pelos planos e , abaixo pelo paraboloide e acima pelo semicone . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração de volumes com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas, temos , e . O cilindro se transforma em , então varia de 0 a 2. O plano corresponde a , e o plano se transforma em . Assim, varia de a .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para . O sólido está abaixo pelo paraboloide e acima pelo semicone . Então, para cada ponto , varia de a .
Passo 4
O volume em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:
Aqui, o fator vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, a integral em :