Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado lateralmente pelo cilindro x^2 + y^2 = 4 e pelos planos x - y = 0 e x = 0, abaixo pelo paraboloide z = x^2 + y^2 e acima pelo semicone z = 6 - raiz(x^2 + y^2).
Escolha uma opção:
5*pi/3, 4*pi/3, 3*pi/2, pi/2, pi/12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante. Isso significa que estamos trabalhando apenas com coordenadas positivas de , e . O sólido é limitado lateralmente por um cilindro definido por , pelos planos e , abaixo pelo paraboloide e acima pelo semicone . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração de volumes com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas, temos , e . O cilindro se transforma em , então varia de 0 a 2. O plano corresponde a , e o plano se transforma em . Assim, varia de a .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para . O sólido está abaixo pelo paraboloide e acima pelo semicone . Então, para cada ponto , varia de a .

Passo 4

O volume em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:
Aqui, o fator vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, a integral em :

Passo 6

Agora, integramos com relação a :

Passo 7

Por fim, integramos com relação a :

Resposta

O volume do sólido é .

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