As integrais de linha são integrais semelhantes a uma integral de uma função de variável real. Contudo ao contrário de integrarmos sobre um intervalo [a, b], integramos sobre uma curva C. Elas foram criadas para resolver os problemas que envolviam o escoamento de líquidos, forças, eletricidade e magnetismo. Seja uma hélice circular dada pelas equações x=cos t, y=sen t, z=t, em que 0 <= t <= 2 pi, o valor da integral de linha dada por:
integralC y sen z d s

Passo 1

Beleza! Temos aqui uma integral de linha, que é tipo uma integral que calcula algo ao longo de uma curva, diferente da integral comum que é em um intervalo. No nosso caso, a curva é uma hélice circular dada por integralC y sin(z) , ds , , para . A gente precisa calcular a integral:
Pra resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco .

Passo 2

Primeiro, já temos a parametrização da curva em termos de x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) = t, 0 <= t <= 2pi :
ds = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 + ( dzdt )^2 , dt
O diferencial de arco dxdt = -sin t, dydt = cos t, dzdt = 1 é dado por:
ds = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + (1)^2 , dt = raizsin^2 t + cos^2 t + 1 , dt
Vamos calcular cada derivada:
ds = raiz1 + 1 , dt = raiz2 , dt
Então,
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos substituir y = sin t, z = t e integralC y sin(z) , ds = integral0^2pi sin t cdot sin t cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^2pi sin^2 t , dt na integral original usando a parametrização:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral:
raiz2 integral0^2pi sin^2 t , dt
Lembrando que raiz2 integral0^2pi 1 - cos(2t)2 , dt = raiz22 integral0^2pi (1 - cos(2t)) , dt , então:
raiz22 [ t - sin(2t)2 ]0^2pi
Integrando termo a termo:
raiz22 [ 2pi - 0 - sin(4pi) - sin(0)2 ] = raiz22 cdot 2pi = raiz2 pi
Avaliado de 0 a :

Resposta

O valor da integral de linha é .

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