As integrais de linha são integrais semelhantes a uma integral de uma função de variável real. Contudo ao contrário de integrarmos sobre um intervalo , integramos sobre uma curva . Elas foram criadas para resolver os problemas que envolviam o escoamento de líquidos, forças, eletricidade e magnetismo. Seja uma hélice circular dada pelas equações , em que , o valor da integral de linha dada por:

Passo 1

Beleza! Temos aqui uma integral de linha, que é tipo uma integral que calcula algo ao longo de uma curva, diferente da integral comum que é em um intervalo. No nosso caso, a curva é uma hélice circular dada por , , para . A gente precisa calcular a integral:
Pra resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco .

Passo 2

Primeiro, já temos a parametrização da curva em termos de :
O diferencial de arco é dado por:
Vamos calcular cada derivada:
Então,
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na integral original usando a parametrização:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Lembrando que , então:
Integrando termo a termo:
Avaliado de 0 a :

Resposta

O valor da integral de linha é .

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado lateralmente pelo cilindro e pelos planos e , abaixo pelo paraboloide e acima pelo semicone .
Escolha uma opção:
Assinale a alternativa que contém a integral que calcula a massa da curva , com função densidade linear em .
a.
Massa .
b
Massa .
c.
Massa .
d.
Massa .
e
Massa
Calcule
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Existem duas operações importantes que são realizadas em campos vetoriais. Elas são consideradas básicas na aplicação do cálculo vetorial à mecânica dos fluidos, à eletricidade e ao magnetismo. Cada uma lembra uma diferenciação, mas uma produz um campo vetorial enquanto a outra gera um campo escalar.
O enunciado se refere às operações de:
a. convergência e rotacional.
b. rotacional e divergência.
c. divergente e vetor.
d. vetor e divergente.
e. direcional e divergência.