As integrais de linha são integrais semelhantes a uma integral de uma função de variável real. Contudo ao contrário de integrarmos sobre um intervalo , integramos sobre uma curva . Elas foram criadas para resolver os problemas que envolviam o escoamento de líquidos, forças, eletricidade e magnetismo. Seja uma hélice circular dada pelas equações , em que , o valor da integral de linha dada por:
Passo 1
Beleza! Temos aqui uma integral de linha, que é tipo uma integral que calcula algo ao longo de uma curva, diferente da integral comum que é em um intervalo. No nosso caso, a curva é uma hélice circular dada por , , para . A gente precisa calcular a integral:
Pra resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco .
Passo 2
Primeiro, já temos a parametrização da curva em termos de :
O diferencial de arco é dado por:
Vamos calcular cada derivada:
Então,
Sabemos que , então:
Passo 3
Agora, vamos substituir e na integral original usando a parametrização: