As integrais de linha são integrais semelhantes a uma integral de uma função de variável real. Contudo ao contrário de integrarmos sobre um intervalo
, integramos sobre uma curva
. Elas foram criadas para resolver os problemas que envolviam o escoamento de líquidos, forças, eletricidade e magnetismo. Seja uma hélice circular dada pelas equações
, em que
, o valor da integral de linha dada por:
Passo 1
Beleza! Temos aqui uma integral de linha, que é tipo uma integral que calcula algo ao longo de uma curva, diferente da integral comum que é em um intervalo. No nosso caso, a curva é uma hélice circular dada por
,
,
para
. A gente precisa calcular a integral:
Pra resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco
.
Passo 2
Primeiro, já temos a parametrização da curva em termos de
:
O diferencial de arco
é dado por:
Vamos calcular cada derivada:
Então,
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original usando a parametrização:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Lembrando que
, então:
Integrando termo a termo:
Avaliado de 0 a
:
Resposta
O valor da integral de linha é
.