Encontrar, se existirem, os pontos de máximo locais, mínimo locais e pontos de sela da função .
Obs.: Se os referidos pontos não existirem, escreva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a função para descobrir se existem pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos encontrar onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a :
Simplificando:
Passo 4
Agora, a primeira derivada parcial em relação a :
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações e :
Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :
Substituindo na primeira equação:
Então, o ponto crítico é .
Passo 6
Agora, precisamos determinar a natureza desse ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as derivadas segundas e o determinante da matriz Hessiana.
Vamos calcular as segundas derivadas:
Passo 7
O determinante da matriz Hessiana é:
Como e , isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
A função possui um único ponto de mínimo local em . Não há pontos de máximo local nem pontos de sela.