Encontrar, se existirem, os pontos de máximo locais, mínimo locais e pontos de sela da função f(x, y) = (x - 1)^2 + y^2 + (6 - x - 2y)^2.
Obs.: Se os referidos pontos não existirem, escreva

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a função para descobrir se existem pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos encontrar onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, a primeira derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações e :
Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :
Substituindo na primeira equação:
Então, o ponto crítico é .

Passo 6

Agora, precisamos determinar a natureza desse ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as derivadas segundas e o determinante da matriz Hessiana.
Vamos calcular as segundas derivadas:

Passo 7

O determinante da matriz Hessiana é:
Como e , isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função possui um único ponto de mínimo local em . Não há pontos de máximo local nem pontos de sela.

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