Assinale a alternativa que corresponde a derivada da função f(y)=√y.tan(y)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a derivada da função $ f(y) = \sqrt{y} \cdot \tan(y) $. Aqui, estamos lidando com derivadas de funções que são produtos de duas funções diferentes. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Produto. Se você tem uma função que é o produto de duas funções, ou seja, $ f(y) = u(y) \cdot v(y) $, então a derivada de $ f $ em relação a $ y $ é:
Isso significa que derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos o produto da primeira função pela derivada da segunda.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Vamos encontrar as derivadas de $ u(y) $ e $ v(y) $ separadamente.
Passo 4
Primeiro, derivamos $ u(y) = \sqrt{y} $. Lembre-se que $ \sqrt{y} = y^{1/2} $. Usando a regra da potência, onde $ \frac{d}{dy} y^n = n \cdot y^{n-1} $, temos:
Passo 5
Agora, derivamos $ v(y) = \tan(y) $. A derivada de $ \tan(y) $ é $ \sec^2(y) $:
Passo 6
Aplicando a Regra do Produto:
Passo 7
Podemos simplificar um pouco a expressão, mas dependendo do contexto, essa pode ser a forma final. Então, a derivada da função $ f(y) = \sqrt{y} \cdot \tan(y) $ é:
Resposta
A derivada da função $ f(y) = \sqrt{y} \cdot \tan(y) $ é: