Assinale a alternativa que corresponde a derivada da função f(y)=√y.tan(y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a derivada da função $ f(y) = \sqrt{y} \cdot \tan(y) $. Aqui, estamos lidando com derivadas de funções que são produtos de duas funções diferentes. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Produto. Se você tem uma função que é o produto de duas funções, ou seja, $ f(y) = u(y) \cdot v(y) $, então a derivada de $ f $ em relação a $ y $ é:
f(y) = u(y) cdot v(y)
Isso significa que derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos o produto da primeira função pela derivada da segunda.

Passo 3

No nosso caso, temos:
u(y) = raizy e v(y) = tan(y)
Vamos encontrar as derivadas de $ u(y) $ e $ v(y) $ separadamente.

Passo 4

Primeiro, derivamos $ u(y) = \sqrt{y} $. Lembre-se que $ \sqrt{y} = y^{1/2} $. Usando a regra da potência, onde $ \frac{d}{dy} y^n = n \cdot y^{n-1} $, temos:
u(y) = raizy

Passo 5

Agora, derivamos $ v(y) = \tan(y) $. A derivada de $ \tan(y) $ é $ \sec^2(y) $:
v(y) = tan(y)

Passo 6

Aplicando a Regra do Produto:
f'(y) = u'(y) cdot v(y) + u(y) cdot v'(y) = ( 12raizy ) cdot tan(y) + raizy cdot sec^2(y)

Passo 7

Podemos simplificar um pouco a expressão, mas dependendo do contexto, essa pode ser a forma final. Então, a derivada da função $ f(y) = \sqrt{y} \cdot \tan(y) $ é:
f(y) = raizy cdot tan(y)

Resposta

A derivada da função $ f(y) = \sqrt{y} \cdot \tan(y) $ é:
f(y) = raizy cdot tan(y)

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